11.3.5　入算数重现时的累积统计值

11.3.5　入算数重现时的累积统计值

入算数重现现象是个普遍现象，我们这里只讨论互素的整数对。

互素整数对辗转相除，除数逐个变小，直至1。余数也逐个变小，直至0。除数个数累积统计值越来越大。余数为0，无余数。最后一个累积统计值等于入算数。

六除法2（r4）=2（q6）×1（r5）+0（r6），余数为0，无余数，形成精确折算率商2（q6）：1个五除数2（r4）直接等于2（q6）个六除数1（r5）。于是，q6P5=2（q6）×52595=105190个六除数1（r5）。

以六除法a属除数1（r5）作统计基准，需纳入前面第四循环的a属统计值P4=13514，P6=q6P5+P4=118704，为第六循环a属累积统计值。

此时，余数为0，即没有余数的这个循环中，没有进行任何舍弃。序列值等于入算数118704（a），我们称之为入算数的重现。

1247年秦九韶所说“蔀数即朔数”，就是高斯1801年刻画的入算数重现现象。

采用商数损一调节举措后，整数对现象有两个余数分支，各带一个余数0除法，各造成入算原系数重现。

入算数重现推论　当rn=0时（自然余数分支或调节余数分支），有Pn=a，Qn=b。

证明　余数为0的除法序数，记作n，即rn=0，k=n。于是

Qka-Pkb=(-1)k-1rk,k=1,2,…,n,

成为

Qna-Pnb=0。

因a，b互素，有Pn=a，Qn=b，不管是自然余数分支还是调节余数分支。

在序列计算表的实际计算过程中，我们一般计算到余数为0这一步，因为最后一组序列值等于入算数。如果入算整数对有最大公约数，这组序列值就等于约简的入算数。

入算数重现现象能保证我们在繁杂的序列值计算过程中避免失误。

本书第十七章讨论密近简化法的应用中，我们每次都计算到余数为0，就是为了利用入算数重现现象，避免失误。