13.8.1 气元背景
天文观察的精确化需要更大的元周期，以度量漫长的上元积年。
开禧历用的是气元。气元的算法是：“以纪法乘日法，为纪率。以等数约之，为气元率。”气涉及条件①冬至为岁之始。纪涉及两个条件③甲子日为日名干支周期之始和④甲子岁为岁名干支周期之始，并不含有朔。
根据近期编历岁冬至点及冬至点处于甲子日夜半之后的实测气骨值，求出的只是入元岁9180岁。不知道演纪积年中含有多少个气元。
把气元之积称为朔积年。以朔取名，是想利用朔方面数据求出元数。这个关键数据一旦求出，气元乘元数，得朔积年。加入元岁，求出演纪积年，可算出上元积年。
气骨之首是③甲子日，气骨之尾是①冬至。气骨是对于整个演纪积年而言的，其他符合首③尾①的时间间隔，只能称为准气骨。
现在，从上元开始，仔细考察随着年岁推移冬至点的移动，即准气骨的演变。
单独考虑岁率 约定第1岁岁首冬至①挂靠在夜半。
1岁岁率6172608，扣除6个日名干支周期6×1014000，为准气骨值88608=16900×5+4108
日是1岁所积下来的余分。第2岁岁首冬至不在夜半。
对后续每一岁而言，一般年份中，准气骨不为零，但是有一个1625岁的周期：6172608×1625÷1014000=9892，即1625个回归年中有9892个日名干支周期。
考虑日名甲子 进一步约定第1岁①岁首冬至挂靠的是甲子日夜半。数值上，蔀率325岁等于日法16900除以等数52，受到调日法等多因素制约，在此只看作默认值。
经过1蔀率325岁，6172608×325÷1014000=1978.4，即扣除1978个日名干支周期后，尚余下0.4×60日=24日。24日是整日数，能使零时出现冬至，但已推迟到日名甲子之后24日。24需要扩大5倍得120，才是60的倍数，达到日名干支周期的完整。
考虑岁名甲子 蔀率325岁扩大5倍，为1625岁。6172608×1625÷1014000=9892日名干支周期，才使准气骨为零，达到甲子日零时③与岁首冬至①一会。但1625÷60余5，已推迟到岁名干支周期后5岁。5需要扩大12倍得60，才是60的倍数，达到岁名干支周期的完整。
气元 齐同算法的内在推动力，要求进一步扩大数据。于是把1625岁再扩大12倍，1625×12=19500岁，达到甲子岁④甲子日零时③冬至①的一会之数，定名为气元。
气元计算
日法16900分、等数52和气元19500岁，是历法整数论浑然一体的三个环节。
据日法值，“以纪法乘日法，为纪率”。60×16900=1014000，称为纪率。如以纪法60纪年，则纪率也可记1014000年。
“以等数约之，为气元率”：60×16900÷52=19500。斗定分4108和日法16900入大衍术，求得等数52，同时求得蔀率325。采用岁名干支周期后，即写岁换分，把16900的分看作岁，1014000的单位就是岁。1014000岁能达到①、③和④，但绝对不止一会。需要除以等数52，1014000岁÷52=19500岁，才是日名干支周期、岁名干支周期及冬至的一会之数。
所以，1208年的开禧历，利用日名干支周期、岁名干支周期和天度圈为基础构建气元。