17.1.3 闰周的改革
东汉以来的天文观察日趋精密，第一个冲破19年7闰这条锁链的是南北朝时期北凉的赵匪欠，在玄始历（412年）中，他提出了600年间置入221个闰月的新闰周。
下面表17.2“早期若干闰周表”中，摘录早期几个闰周值。
表17.2 早期若干闰周表
我们用600×12=7200，7200+221=7421，纳入序列值计算表（表17.3）。
表17.3 玄始历闰周序列值计算表
余数为0时，比值为7200/7421，与入算数组相同。如同本书11.3.5“入算数重现时的累积统计值”所说，我们增加此举是为保证序列值计算的成功。
但我们很难核查表中入算数据与导出数据，哪些经过了修改，出于什么考虑。
有趣的是东魏李兴业，同一组学者给出两组不同的闰周值：先是兴和历闰周562年207闰，每年为12.3683274月，替代北魏张龙祥等正光历的值。后来是九宫历的505年186闰，每年为12.36831683月，恢复到与北魏张龙祥等正光历的水平。
可见，没有更改的，只有李兴业手中的密近简化算法。
李兴业第一组的兴和历，即《甲子元历》（539年）。参与改历的人员规模之庞大，阵容之豪华，在中国历法史上非常罕见。计算如下（表17.4）：
表17.4 兴和历序列值计算表
这里，6744/3=2248，6951/3=2317。最大公约数3，不影响序列值计算。除法余数为0时，比值为2248/2317。
第二组九宫历的505年186闰，505×12=6060，6060+186=6246，每年为12.36831683月。计算如下（表17.5）：
表17.5 九宫历、正光历序列值计算表
这里，6060/6=1010，6246/6=1041，最大公约数6不影响序列值计算。余数为0时，比值为1010/1041。
落下闳、刘歆的密近简化算法，适当选取原始数据，纳入密近简化算法，凭借某种信念在严谨的计算表中选取所需数据。在解决千年以来存在的闰周问题时，取决于测天的精度。
祖冲之大胆改革闰周，提出了391年144闰的新数据（表17.6）。
这里，391年×12=4692，4692+144=4836，4836/12=391，4692/12=403，最大公约数12，不影响序列值计算。余数为0时，比值为391/403。
表17.6 大明历闰周序列值计算表
公元前二世纪，人们就已习惯使用八尺（折合1.84 m）高表来测定冬至的日期。但是，靠八尺高表的读数并不理想。
祖冲之的贡献就是，不直接观测冬至那天日影的长度，而是观测冬至前后二十三四日的日影长度，再取它们的平均值，求出冬至发生的日期和时刻。由于离开冬至日远些日影的变化就快些，从而可以提高冬至时刻的测定精度。他的大明历岁实取365.2428日，在当时是很精密的。要到1064年明天历出现，采用更多的观测点，才能进一步提高精度。
在与权贵戴法兴的辩论中，祖冲之就是应用精密测定冬至点的方法，详细论证了19年7闰的闰周古法“其疏尤甚”[2]。他说：“古法虽疏，永当循用，谬论诚立……理容然乎？！”还说，日月五星的运行，“非出神怪，有形可检，有数可推”。只要精心观察并以历代记录来相互校验，“孟子以为千岁之日至可坐而知，斯言实矣”。从而对戴法兴的谬论“古人制章，立为中格，年积十九，常有七闰，晷或盈虚，此不可革”，指责的“削章坏闰”，污称的“恐非冲之浅虑，妄可穿凿”，进行了有力的驳斥。
古六历闰周19年7闰，岁有12.38642105月，玄始历600年221个闰月，岁有12.38633333月。大明历391年144闰，岁有12.368286445月，可见大明历闰法是胜过赵匪欠玄始历的。
所以，当今学者公认：“引进岁差和改革闰法为大明历的两大创法。”[3]支撑这一条的论据，一是改进测天精度，二是密近简化算法。