2.5 探索思路
1980年李文林、袁向东[2]研究指出，汉代计算上元积年，需要解一到两个相当简单的一次同余式或者一次不定方程。
例如，三统要求历元起于冬至、朔旦、甲子日夜半，同时日月五星齐会。年月日最小公倍数叫统法，一统1539岁，年月日与六十甲子的最小公倍数叫元法。三统为一元，4617岁，太初元年前十一月甲子、朔旦、冬至会合。假设从三统历元到太初元年的积年数为N，应是4617的倍数，记作p，即
N=4617×p（p为整数）。
这样算出的积年，表明三统上元时，日月和岁星都处于起始位置。
李文林、袁向东指出，汉历上元积年推算恰好符合可解性条件，这应该说不是偶然的。汉代历算家利用了太初元年的特殊数据，只需要处理一个同余式。为了改进历法，后世的计算法变得越来越复杂。
公元3世纪魏晋时代，随着天文实测精度的提高，要解两个以上的一次同余式。魏景初历规定以冬至、朔旦与甲子日零时会合之时为历元。
设a是一回归年日数，b是一朔望月日数，近期编历岁冬至距甲子日零时是R1日，离平朔时刻是R2日，那么，景初历上元积年数N就是一次同余式组
a N≡R1(mod 60)≡R2(mod b)
的解。
按历元的定义，从上元到近期编历岁，恰好经过N个回归年，合a×N日。由甲子记日，就是以甲子为首60日为一个周期，所以60去除a N，余数应该是近期编历岁冬至离最近一个甲子日的日数，于是有第一个同余式：a N≡R1（mod 60）。同样的道理可推出第二个同余式，用朔望月日数b去除a N，余数应该是近期编历岁冬至离最近一个平朔时刻的日数，于是有a N≡R2（mod b）。见示意图2.2。
图2.2 历法一次同余式组示意图
三世纪之后，天文观察技术更为精确，刺激着更复杂的一次不定方程或一次同余式，导致历算家努力寻找它们的一般性解法。
由此，我们可以判断，尽管汉代的历算家不一定能掌握处理它们的一般性理论和方法，但至迟到西汉末年，汉代的历算家就有了处理的办法。
从此，中国历史上90多家历法中，有80多家历法将上元积年数据列为历法第一条。从某种程度上讲，一部中国古代的历法史几乎就是上元积年的演算史[3]。
历法是皇权的象征，在中国封建社会中享有至高无上的地位。从刘歆直到元代郭守敬以前，历家往往把毕生心血倾注在上元积年的推算上，埋头于各种天文周期的测验。
到了南北朝（420—589），祖冲之的大明历（公元462年）更要求历元必须同时为甲子年的开始，而且日月合璧，五星连珠，月亮又恰好行经其近地点和升交点。这样的条件下，推算上元积年，就相当于要解十个同余式了。当然，祖冲之很可能要利用一些特殊的数据来消去其中的一部分，不一定就是解十个同余式。
数学家们肯定知道其一般性过程，但未必透彻了解其中的内部逻辑关系，未必能清晰地解释并真正地掌握它。然而，上元积年计算的进一步需要，势必刺激对一次同余式问题的详尽研究，也派生出《孙子算经》的物不知数问题。
钱宝琮[4]指出：“《孙子算经》里物不知数问题的解法不是作者的向壁虚造，而很可能是依据当代天文学家的上元积年算法写出来的。”
总的一句话，古代天文历法中数学计算的需要，确实刺激着一次同余式问题的研究。