12.1　高斯与《算术研究》

1801年，高斯的《算术研究》问世，开创了数论发展史上的一个新纪元。

高斯是德国18世纪末到19世纪伟大的数学家、天文学家和物理学家，与阿基米德、牛顿同享盛名。克莱因（Klein，Felix，1849—1925）说过：“如果我们把18世纪的数学家想象为一系列的高山峻岭，那么最后一个使人肃然起敬的峰巅便是高斯——那样一个在广大丰富的领域里充满了生命的新元素。”

高斯在数学上的贡献遍及纯粹数学和应用数学的各个领域，而他最钟爱的却是数论。高斯曾说过：“数学是科学的女皇，数论则是数学的女皇。”

《算术研究》是一部划时代的作品，它结束了19世纪以前数论的无系统状态。在《算术研究》中，高斯对前人在数论方面的一切杰出而又零星的成果予以系统的整理，并积极加以推广，给出了标准化的记号。

这部伟大的著作包含三个核心理论是：同余的理论、代数数的引进，以及作为丢番图分析指导思想的型的理论。

同余是数论研究中的基本课题，虽然这一概念的提出出现于欧拉、拉格朗日和勒让德的著作中，可是高斯给它引入了现代的符号，并予以系统的研究。基本思想是简单的：当a和b被m整除时有相同的余数，那么a≡b modulo m，modulo这个词现在简记为mod。

高斯用同余式的术语给出了费马小定理的一个证明。费马小定理用同余式的术语叙述就是：若p是素数而a不是p的倍数，则ap-1≡1 modulo p。这个定理是高斯从对高次同余式的研究中推出的。

xn≡a modulo m

我们关注的重点，则是伟大的数学家高斯，在24岁那年对一般一次同余式组理论进行详细研究时，究竟说了些什么，并且是怎样说的。