13.5 近代数论核算
1966年，钱宝琮以近代数论核算开禧历。我们添加了一些注释，方便熟悉现代数论的读者，对照认识求入元岁术理。
证明中出现治历演纪题19个数据。这只能说明开禧历原题符合数论原理，却不能说钱宝琮的证明符合原意。特别是-24807这个负值，更说明了这一点。
这些证明中两次用到大衍求一术，这是直到1247年才由秦九韶创新出来的。1208年的开禧历只是用大衍术。
从上元甲子岁（A-）到嘉泰甲子岁（-I）的年数记为N。岁率6172608乘演纪积年N，满纪率1014000去之，不满，为气定骨193440，有
上元与嘉泰四年同是甲子岁，N能被60整除，设N=60n。又因6172608=365×16900+4108，故（1）式能写成
4108×60×n≡193440(mod 60×16900)。
“只以4108为斗定分，与日法，以大衍术入之，求得52为等数，144为因率，325为蔀率”（草），“以甲子60为纪法，乘等数，得3120，为约率”（草），
52×79×60×n≡60×52×62(mod 60×52×325)。
以60×52约，化简为
79×n≡62(mod 325)。
以79和325，用大衍求一术求得乘率144（79×144≡1（mod 325））。“以因率144乘之，得8928，满蔀率325去之，不满153”（草），
n≡62×144(mod 325)≡153(mod 325)。
“以纪法60乘之”（草），“得9180年，为入元岁”（草）。所以
N≡9180(mod 19500)
或N=19500m+9180，m为正整数。
此时条件不成熟，没有使用合朔方面的数据，目标本是求出整体演纪积年，求出的只是其余数：入元岁，所以称“求入元岁之术”。
进一步，代入（2）式，6172608N≡163771（mod 499067），得
6172608(19500m+9180)≡163771(mod 499067),
因6172608=499067×12+183804，
183804×19500≡377873(mod 499067),
183804×9180≡-24807(mod 499067)。
（2）式化为
377873m-24807≡163771(mod 499067),
377873m≡188578(mod 499067)。
以377873与499067用大衍求一术，求得乘率457999，因得
m≡188578×457999(mod 499067),
m≡402(mod 499067),
N=19500m+9180。
上元到开禧三年丁卯岁，积年为N+3=7848183年。