13.1.4 天象观测呼唤数学
东西方古代历法家为编制反映日月星辰运行规律的历法，都认识到周期及相关余数，只是时代不同、描述角度不同。
公元4世纪的《孙子算经》留下一个物不知数题。钱宝琮[8]指出了物不知数题的天文背景：“《孙子算经》里物不知数问题的解法不是作者的向壁虚造，而很可能是依据当时天文学家的上元积年算法写出来的。”
西方人引出了同余概念，着眼于同一周期的不同余数，与中国人追求多个周期齐同的观念不同。
高斯《算术研究》[9]评价类似孙子剩余定理的高斯剩余定理，说到同余概念历法起源：“这个用法起源于年序学问题，在确定儒略年时的小纪、黄金数和太阳循环周期为已知。”
众所周知，1734年，欧拉研究了不定方程和一次同余式组的解法。1801年，高斯写下《算术研究》，完善了同余理论，分别在1247年秦九韶《数书九章》之后的487年和554年。显然，欧拉和高斯并不知道中国人的工作。
同余理论是把双刃剑，在带给中国历法研究极大便利的同时，也可能掩盖原始思路。
《孙子算经》的物不知数题用同余符号表示，上升表述为孙子剩余定理，完全正确。但不能就此而认为，4世纪的中国人就是利用类似现代同余概念，轻松简捷地导出物不知数题的。因为此题数字不免产生多种解释。史料可以证明，从刘歆直到郭守敬以前，中国古代历法家并没有直接用同余理论去推演计算上元积年。
1247年的秦九韶自叹“数理精微，不易窥识，穷年致志，感于梦寐，幸而得之，谨不敢隐”。他当时究竟是怎样思考的？何况开禧历的“除乘消减”法，居然能求出元数，其间必有奥秘。
有清以来，研究者依仗的数学基础不同，对治历演纪三题的评价也就大落大起。
1842年，清代学者沈钦裴拘泥于传统数学的率，全盘否定治历演纪题：“气元率可以不设，下文元闰元数气等率蔀率因数朔积年皆误”，“以斗分与日法用大衍入之，与率不相通，此其所由误也。”
然而，秦九韶研究的开禧历的数学原理，经1966年钱宝琮先生[10]用近代数论解释，正确无误；严敦杰先生[11]用其来核算《明天历》（1064年），也是全合。
1983年何绍庚先生[12]对治历演纪术语作详尽的推敲、注释，启迪我们复原开禧历历家和秦九韶的自然思路。
我们从基本测量数据、基本概念出发，原原本本展示鲍浣之开禧历上元积年的计算思路，研究上元条件“甲子岁甲子日零时冬至合朔”的合理分划，剖析气元概念和秦九韶的著名断言“将来可用入元岁便为积年”。
秦九韶未曾想到，他的治历演纪三题为探索上元积年本原留下了史上唯一的证据。后世学者要想钻研中国古代历法的真谛，要想探索上元积年的本原，也只有踏踏实实理解治历演纪三题的原文原术原意。
显然，为探索其原始思路，我们只能沿用秦九韶前段术文常用的“以岁闰乘入元岁，满朔率去之，不满，为入闰”的公式表达法，分析时无法直接使用近代同余式理论符号：岁闰×入元岁≡入闰（mod朔率）。只有在分析完毕后，才能用同余式理论核算原始思路。
天象观测呼唤数学，推动数学，反过来，数学进步又深化了人们对天象的认识。东西方古代历法家为编制反映日月星辰运行规律的历法，都认识到周期及相关余数。
要想讲清中国历法家的自然思路，不得不仔细斟酌我们的用语，尽量接近原文、原术，以避免混淆。不能不注意，宋元著作思路、用语、表达与今天相距甚远，研究时往往可以发现，术文只是枝枝节节地报出了式子的各个组成部分，只字不提怎样从问题所给出的条件导出式子的思维过程。其中尤以秦九韶《数书九章》为突出。
有些词汇，如化成互素，有等价的词汇，称约后无等。要注意应用的场合，不宜混用。
有些词汇的内涵在历史上自行变动。如大衍术一词，秦九韶自己所用的内涵就太为广泛了。当年伟列亚力传到欧洲时，更扩大了此词的内涵。也有必要分清场合，明确不同用语。
含义不同的词汇，如《九章算术》五家共井题的方程一词，我们在叙述其原始思路，只能记为[不定]方程，以示沿用方程一词，但实质是不定方程。
秦九韶把数理上的不定方程和一次同余式混为一谈，误认为“所谓方程，正是大衍术。”在《数书九章·序》又称：“历家演法颇用之，以为方程者误也。”
在《数书九章·序》中，理解大衍术为一个可逆的过程。对原数，用著卦取余数：奇，抛弃众多的商。反过来，采用大衍术，就能察知隐藏的原数。
圣有大衍，微寓于《易》。奇余取策，群数皆捐。衍而究之，探隐知原。
描述中国传统不定分析知识时，很有必要根据文字记载中古人用语，采用满去式一词。
《数书九章》治历演纪三题中把除称为“满”，作减、除解：治历演纪题有“欲满约率三千一百二十而一”。算草有：“以所求中间年，上距前测年数，乘岁余，益入前测日刻分，满纪策去之，余为所求年气骨”。
历法概念常常用“不满”下定义：“满朔率去之，不满为入闰。满朔率去之，不满为元闰”，“以岁闰乘入元岁，满朔率去之，不满为入闰”。
治历演纪中最值得注意的用法是，讨论朔积年之奇分和闰缩时，数值相等，并不相同，“必满朔率所去故也”，就是说，还必须相对于同一个朔率，这才可以把假想平朔时刻上的时间点移到真实平朔时刻上，移动的值才一定相等，才有“朔积年之奇分与闰缩等”。
这个用法，接近于现代的同余一词，但还略有区别。
因此，为避免与现代数论的同余方程概念相混淆，我们提出含有未知数的满去式。求解满去式，就是求未知数。