17.2 祖冲之更开密法
祖冲之有关圆周率方面的成就见《隋书·律历志》上篇备数节：
古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设新率，未臻折衷。宋末南徐州从事史祖冲之更开密法。以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，胬数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈胬二限之间。密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率：圆径七，周二十二。又设开差幂，开差立，兼以正圆参之，指要精密，算氏之最著也。所著之书名为《缀术》，学官莫能究其深奥，是故废而不理。
这就是说，祖冲之刻苦钻研，反复演算，在前人成就的基础上，求出π在3.1415926与3.1415927之间，相当于精确到小数点后的七位数字。
在祖冲之的时代，圆周率常用分数表示。祖冲之给出的约率是
（3.14285714，小数点后2位精确），密率是
（3.14159292，小数点后6位精确）。
按《隋书·律历志》记载，祖冲之还以密率来校算刘徽为王莽所造的量器——律嘉量斛。发现“刘歆庣旁小一厘四毫有奇”，认为是由于“歆数术不精之所致也”。
在西方，直到1573年德国数学家奥脱（Otto，Valentin，1550—1605）才算得
这一数值。而在一般西方数学史著作中，却常常误认这一数值是荷兰工程师安托尼兹（Anthonisz，Adriaen，1527—1607）首先得出的。因而日本数学家三上义夫主张称
为“祖率”。
后世学者不懈研究《隋书·律历志》，无不从刘徽割圆术出发，破解祖冲之的方法。然而，不免在史料、历法相关与计算方面有所欠缺。
现存史料中，谈到缀术的有两条。约11世纪末的《梦溪笔谈》中，沈括[4]指出：“求星辰之行、步气朔消长谓之缀术，谓不可以形察，但以算术缀之而已。”缀术与历法计算有关。1247年秦九韶在《数书九章》中有“缀术推星”一题，也把缀术理解为一种内插法，中国古代数学中称之为招差术。李冶[5]也说：“所谓缀者非实有物，但以数强缀缉之使相联络，可以求得其处所而已。”
提到古代历法计算中，无人不知连分数渐近分数、调日法、内插法等多种数学方法。但仅仅用刘徽割圆术去解释祖冲之求π方法，那就无法说明《缀术》与历法计算有什么关系。
从计算角度看，3.1415926与3.1415927的计算相当繁难[6]。以圆径一亿为一丈，从正六边形起算，需要算到正24576（6×212）边形，需要把同一计算程序反复进行12次，每个程序中包括加、减、乘、除及开方等十余个步骤。为此，需要从九位数字算起，反复进行各种运算130次以上，其中的开平方运算又会出现远远大于九位的数字。即使在今天，我们用纸笔来计算，这也绝对不是一件轻松的事，更何况当时的计算都是以算筹进行的。
最后，还有一点质疑也是绕不过去的。历代《九章算术》注所记载应用割圆术，最多到3072边形，没有割到24576边形[7]。