8.5　数论的特点

在评点费马定理和欧拉定理之前，我们先简单介绍一下数论这门学科的特点。

在古代希腊、印度、中国的数学史上，都有许多数论的明珠在闪光。进入17世纪后，几何学已由笛卡尔在方法上的革命，走上了一条新的道路。数论却还停留在一些分散的、孤立的问题和成果上，由于缺乏普遍有力的方法，只能凭借个人的才智和技巧，一个一个地解决问题。但是其成果的丰富、内容的深刻、问题的难度、技术的高超，却是前人所不能比拟的。

对业余爱好者来讲，数论或许是最值得研究、研究人员最多的数学分支之一。

原因当然是多方面的。

首先，数论是一门将远古时代人类的思想，与他们今天的儿孙们的思想融合贯穿的数学分支。数论中研究的许多问题起源于公元前，这些问题的解决像一根环环紧扣的链条，延续到现今。生活在公元前3、4世纪交接时期的欧几里得，在其巨著《几何原本》中使用的概念和方法，仍为现今研究数论，特别是研究初等数论时所效仿、使用。

其次，数论是一门雅俗共赏的数学分支。对一般人来说，可能看不懂一些定理的证明，但是，所有定理的含义都是容易明白的。而这些含义明白的数论命题，即便专业人员论证起来也相当困难。因此，无论对学者还是业余爱好者，数论都有着巨大的吸引力。

再者，数论中存在着许许多多没有解决的问题，其猜想之多可能是所有数学分支中独一无二的。这些问题可以从数值上找到大量的证据，说明其合理性，但是其真实性又似乎并不是那样不证自明。这些神秘、有趣的问题向爱好它的人们招手，为他们留下了施展聪明才智的广阔天地。

最后，数论也许是一门最纯粹的数学分支了，这也是许多人热心研究它的根源之一。但是，数论尽管很纯粹，在现实世界中还是有着广泛用途的。已经发现数论在通信密码编译等许多方面有着重要的应用。

初等数论号称有四大定理：威尔逊定理、欧拉定理、孙子剩余定理和高斯剩余定理、费马小定理。我们这里重点关注欧拉定理和费马小定理。