8.1 早期剩余问题
欧洲的不定分析问题，最早见于斐波那契的著作。
斐波那契，意大利著名数学家，早年跟随父亲求学于非洲，后到埃及、叙利亚、希腊、西西里以及法国南部游学，以掌握当时全部数学知识而闻名。回到意大利后，从事著作，于1202年出版由阿拉伯文、希腊文编译成的拉丁文数学著作《算术》。
书中记载了一些不定分析问题。例如，其中一题如下：
设计一个数，除以3，除以5，也除以7，并问每除之后各剩余多少。对于除以3所剩余的每个单位1，要记住70；对于除以5所剩余的每个单位1，要记住21；对于除以7所剩余的每个单位1，要记住15。这样的数如大于105，则减去105，其剩余就是所设计的数。例如，设一数除以3余2，记住70的二倍或140，其中减去105，则剩余35。若除以5余3，记住21的三倍或63，与上述35相加得98。若除以7余4，记住15的四倍或60，与上述98相加则得158，减去105，其剩余是53。这就是所设计的数。
斐波那契的《算术》中，只是记载了一些问题，既没有关于这类问题解法的任何理论，也没有更多的解释。但这一题与《孙子算经》物不知数题十分相似，而且模数都是3，5，7，解法也是同出一辙。即便所取得数，也只是问题的最小解。
两个问题如此相似，不能不让人惊异。虽然对来源有各种不同的研究报道，但斐波那契的大部分问题来自阿拉伯，则似无可怀疑的。而中国与阿拉伯国家之间的学术交流在古代较为频繁，其具体情况应有进一步探讨的必要。
尼可马修斯（Nichomachus，H.，公元90年左右）是来自犹太的阿拉伯数学家，比毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前500年）晚好几百年。由于在哲学思想和数的理论方面，他继承了该学派的衣钵，企图恢复毕达哥拉斯精神，故称为新毕达哥拉斯学派代表人物。
他的著作《理论算术》英译时，附加了五个问题，其中三个标有伊萨克（Issca）的印记。据考证，伊萨克可能就是拜占庭著名数学家兼天文学家伊萨克·阿古尔（Argyros，Issca，1318—1372）。也就是说，标有印记的第五个问题就是阿古尔问题。
今将阿古尔问题照录如下：
如果你希望知道在7和105之间有人记在心里的那个数，你可以用下面的方法把它求出来。让那人先心算：从那数能减去3的多少倍就减去3的多少倍，如果有余数的话，让他说出小于3的余数。当他说出余数时，对于每个单位1，记着70这个数。因此，如果余数是1，仅记70；如果余数是2，记70的两倍或140；如果余数是零，记着零。必须注意，减后的余数，尤其注意余数不是单位1的情况。然后，让他用同样方法从那数能减去5的多少倍就减去5的多少倍，并让他说出小于5的余数，对于每个单位1取21，使与第一次的得数相加。之后，让他用同样方法减去7，并让他说出小于7的余数，对于每个单位1取15，使所有这些数相加，并由其和能减去105的多少倍就减去105的多少倍。剩余的数就是你所求的数。
这一问题的模数3，5，7和计算步骤，与《孙子算经》物不知数题十分相似。虽然把已知条件限于7和105之间，但所求的仍属于最小解。叙述方面，则与斐波那契的《算术》中的问题相类似。显然，英译本附加的阿古尔问题，未尝没有受到斐波那契问题的影响。
19世纪在德国发现了一部德文抄本，经考证，大约是1450年间的遗物，作者不详。由于发现于慕尼黑，一般称为慕尼黑抄本。在慕尼黑抄本里，记载着一些不定分析问题。今照录一题：
我也希望或者他想知道在他的钱库里有多少钱。这样做：让他计算钱数，数之以三，数之以五，数之以七；而且数以3余1，记下70，数以5余1，记下21，数以7余1，记下15。然后把这些数相加，由其和减去基数，基数就是3乘以5再乘以7，是105，能（减）几次就减几次，其剩余的数就是他想的或他钱库的钱数。这例子尽可能不高于基数，即105，并且不要取较大的数。
由该问题最后一句“这例子尽可能不高于基数，即105，并且不要取较大的数”来看，所计算的数限制于105以内，这和前述阿古尔问题的要求相一致。因此我们想，慕尼黑抄本的作者可能受到阿古尔问题的影响。在问题之后，作者解释了其解法：
按照这种方法做。数以3取70，数以5取21，等等。如果你需要数以3的话，使它除以3，若余数为1，你求得以5乘7，这就是所求的数；可是，若余数大于1，加倍这数，然后除以3，若余数仍大于1，再加同一数。这样一直到余数变为1的时候。同样的方法，如果你需要数以5的话，使它除以5，以3乘7得21，因此，对于数以5来说所求的数是21。你需要数以7的话，使它除以7，若余数是1，以3乘5得15，于是对于数以7来说所求的数是15。可以用同样的方法处理其他的数。
这个问题渊源很深，不但十分像阿古尔问题，也很像斐波那契问题和孙子问题。由于其中所用词句多属于意大利术语，所以有人认为慕尼黑抄本的问题直接或间接来自斐波那契的问题。假定斐波那契经由阿拉伯受到中国的影响，那么可以说，慕尼黑抄本的问题也间接受到中国的影响。
德国数学家雷基奥蒙坦（Regiomontanus，原名Muller，J.，1436—1478）于1463年给他的友人毕安基尼（Bianchini）的信时说：“有一个数，它除以17，余数15；除以13，余数11；除以10，余数3。我问你，这是怎样的数？”次年毕安基尼回信说：“这问题可以给出很多不同数的解，这些数都适合这一问题，如1103，3313，以及其他的数。可是，我不需要烦琐地求出另外的数。”由此明显地看出毕安基尼不知道一般法则。雷基奥蒙坦在回信中写道：“……你适当地求出最小的数为1103，第二个数为3313。这就足够了，因为最小的数是1103，像这样的数有无限多个。如果加上一个用三个因数（以乘法）计算的数，即17，13和10的话，我们可以求得第二个，用同样方法，再加上同一数，即得第三个数，等等。”
看来，雷基奥蒙坦是了解一次同余式（组）的完全解，但他并没有说明如何求得了第一个解。很可惜，雷基奥蒙坦没有把他关于同余式的解法系统地描述出来。在不定分析的发展史上，就好像短缺了什么。