17.6　差幂探索

我们回过头来，认真研究《隋书·律历志》上篇的备数节。

钱宝琮认为：“开差幂”是已知长方形的面积A及长k、阔x之差，则x（x+k）=A是一个开带从平方问题。“开差立”是已知长方体体积V及长阔差k、高阔差l，则x（x+k）·（x+l）=V是一个开带从立方问题。正圆中的“圆”字，为“负”字之误。负与员形相近，古员与圆相通。如果带从平方或带从立方的开方算式中容许有负数项，那么开平方或开立方时，必须参通正负数加减法则去解决它。

但这个解释似有欠缺，未涉及“差幂”的本意。

上面17.4.1“刘徽不等式由来”中，我们已经搞清，“差幂。倍之”，成类齿轮盘。一次次分割产生的差幂，衍生出一层层类齿轮盘。直到极限状态，正多边形与圆相合，余径消失，类齿轮盘的面积就不至于突出在圆周之外了。

祖冲之相隔刘徽公元263年注《九章算术》不过100多年。备数节说“祖冲之更开密法”，肯定是割圆原术外求圆周率的进一步方法。祖冲之提到“又设开差幂，开差立，兼以正圆参之，指要精密，算氏之最著也”。“开差幂”肯定与割圆术的“差幂”有牵连。“开差幂”肯定与“正圆”有关。“开差立”立字与幂字相比对，跟圆、球相关。

但囿于史料，我们没法作进一步确切解释。

祖冲之的儿子祖暅也是一位博学多才的数学家，主要工作是修补编辑他父亲的数学著作《缀术》，研究几何求积的著名命题。唐代李淳风注《九章算术》时，提到祖暅的开立圆术。祖暅求球体积使用的原理为：“幂势既同，则积不容异。”“幂”是截面积，“势”是立体的高。意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等。

“学官莫能究其深奥”的《缀术》何时能重新面世，真使我们浮想联翩。