10.2.2　式演化思想

10.2.2　式演化思想

没有伴随数就无法组织总余数，还只是表面现象。深层次的原因是，伴随数需要照顾从条件同余式到结论同余式的整体演化，源于与同解方程、同解不等式思想一脉相承的式整体演化的大背景。

《算术研究》处理同余式，有三条作用极重要的性质，都显示式演化的思想。

第29节涉及整除性质，当系数a为模δ的倍数时，同余式左侧乘积项与0同余：

因δ整除a，ax≡0（modδ）。

第31节第2条性质，论述同余式约去三项的最大公约数：

bδx≡aδ（mod cδ）和bx≡a（mod c）等价。

第31节第3条性质，论述约去系数和常数两项的最大公约数，是需要条件的：

当k和c互素时，bkx≡ak（mod c）和bx≡a（mod c）等价。

《算术研究》第32节提出模不互素的一次同余式组，“求出所有的数，它们对于任何数量的已知模具有已知余数”。从模不互素（双式）子同余式组的解法，推广到多式解法。

指导思想是，任取两个同余式，组成同余式组，解出值。再吸纳第三个同余式，组成新的模不互素（双式）子同余式组。经过n-1次处理，组成n个同余式的一次同余式组。最后一次（双、多式）子同余式组的解，就是整个同余式组的解。高斯指出，这个过程中，要求模两两互素，问题就能方便解决。

第33节预言，模两两互素，可以产生更令人满意和一流的方法，指第36节剩余定理。

经过大量准备工作，到第36节中，高斯十分欣赏得到的剩余定理，书中再次强调：“当所有的模A，B，C，D等两两互素时，使用下列方法通常更为优越。”在计算数α需要“用BCD等所乘”之后，高斯又补充一个注：“参见第32节”，强调各模必须两两互素，以便用最小公倍数就求出总模。