2.1 上元积年
从春秋战国到秦朝时期制定的黄帝、颛顼、夏、殷、周、鲁六种历法，称为古六历。唯颛顼历一直用到（前104年）汉武帝改历，编制太初历止。古六历至今只存一些零星材料。黄帝、颛顼、夏、殷、周、鲁之名，始见于公元一世纪《汉书·律历志》。
四世纪初司马彪《续汉书·律历志》给出古六历上元甲子。约718—726年成书的《大唐开元占经》中出现了古六历完整的上元干支和积年。
上元距唐玄宗开元二年甲寅（714）的纪年数分别为：
黄帝历上元辛卯以来2760863年。
颛顼历上元乙卯以来2761019年。
夏历上元乙丑以来2760589年。
殷历上元甲寅以来2761080年。
周历上元丁巳以来2761137年。
鲁历上元庚子以来2761334年。
公元前7年，刘歆改编太初历成为三统历，第一个实际计算了太初元年的上元积年值：“汉历太初元年，距上元十四万三千一百二十七岁。前十一月甲子朔旦冬至，岁在星纪婺女六度，故《汉志》曰：岁名困敦，正月岁星出婺女。”
公元223年乾象历说：“上元己丑以来，至建安十一年丙戌，岁积七千三百七十八年。”
从乾象历起，八十余家历法都列出上元以来积年数据作为历法的第一条数据，直到元郭守敬授时历（1280年）才予废止。
公元237年景初历第一句为：“壬辰以来，至景初元年丁巳岁，积四千四十六，算上。”
公元462年，南北朝祖冲之的大明历要求历元必须同时为甲子年的开始，而且日月合璧，五星连珠，月亮又恰好行经其近地点和升交点。这样的条件下推算上元积年，就相当于要解十个同余式了。
随着观测精度的提高，天象重合越来越难以实现，不得不推算数以亿万年计的上元积年，以寻求编历的总起点，这就极大地刺激了数学的发展和数值解法的进步。
在秦九韶之前，各历虽然都载有积年数字，却从未展示出具体的推算过程。
1247年秦九韶《数书九章》治历演纪等三题，系统阐述1208年开禧历上元积年算法，是到1280年郭守敬废止上元积年这1500多年间唯一流传至今的珍贵史料。
1777年四库馆臣[1]赞曰：“自秦汉以来，成法相传，未有言其立法之意者。惟此书《大衍术》中所载立天元一法，能举立法之意而言之。”
阮元（1764—1849）《畴人传》（1799）卷二十二“秦九韶传”评价：“自元郭守敬授时术截用当时为元，迄今五百年来，畴官术士，无复有知演纪之法者。独《数书九章》犹存其术，嗜古之士，得以考见古人推演积年日法之故，盖犹告朔之牺羊矣。”
只有深入挖掘开禧历治历演纪题，再分析初期形态的三统历结构，弄清刘歆计算上元积年的造术，才有可能探索上元积年的本原。
开禧历为我们留下了四个独特的数学成果：
一是求入元岁之术理，涉及满去式的列式与求解。
二是除乘消减法，用中国式不定方程的筹算解法，求出元数。
三是大衍术，展示了整数对现象成果，揭示了两千年来等数的作用。
四是仿求入元岁之术理，用大衍术求出元数。
正是在这些成果基础上，秦九韶提炼出世界闻名的大衍求一术。
1208年开禧历演纪积年法，本身就是传统历法整数论近千年演绎的结晶，是数学家高斯《算术研究》之前的一个完整的整数论体系。
今天的线性不定方程、线性同余式和连分数是整数对现象中三棵枝繁叶茂的“参天大树”。就在这片肥沃的土壤上，两千多年前的落下闳、刘歆辛勤耕耘，开创了中华文明千年历法的辉煌，在人类文明史上写下了浓重的一笔。