11.3.4 天元一
天元一在传统数学中的意义，怎样评价都不会过高。
天元一最早出现于1208年开禧历大衍术筹算图，即下段中钱宝琮引文中所说（1）图，载于1247年秦九韶的《数书九章》。
1966年，钱宝琮在《秦九韶数书九章研究》[2]一文中，谈到天元一的数学实质时，似乎也一时难确定。
秦九韶没有说明在（1）图里左上角的“天元一”代表什么。清焦循《天元一释》认为这个“天元一”就是一。我于《中国算学史》（1931）中说它代表剩余R。事实上，（1）图左上的1只是单位1，术文中“天元”二字是虚设的，说它代表剩余R是不合适的。
现在我们终于可以确认：天元一的数学实质是二除法的除数1，是序列的本原。
传统数学中，天元一有好几个含义，罗列如下：
1 乘法占位符
秦九韶在蓍卦发微题的算图中（见本书后面14.3.2算图4），天元一只作乘法占位符。
算图2中，天元一只是起乘法占位符的作用，以1，2，3，4四个数构成互乘法，“互乘左行异子一，弗乘对位本子”。2×3×4=24，1×4×3=12，1×2×4=8，1×2×3=6，“各得衍数”24，12，8，6。图3“以左行并之得五十”，达到“大衍之数五十”。
2 未知数
1248年李冶在《测圆海镜》中的天元术，天元一起未知数的作用。
宋元数学家朱世杰（1249—1314），字汉卿，号松庭，汉族，燕山（今北京）人氏，元代数学家、教育家，主要著作是《算学启蒙》与《四元玉鉴》。朱世杰在当时天元术的基础上发展出四元术，也就是列出四元高次多项式方程组及消元求解的方法。
3 借根方解
清代数学家梅文鼎之孙梅钰成（1681—1763），于1761年以前写成《赤水遗珍》一书，附于《梅氏丛书辑要》（1761）之后发表。梅钰成提出“天元一即借根方解”。他说：
尝读授时历草，求弦矢之法，先立天元一为矢。而元学士李冶所著《测圆海镜》，亦用天元一立算。传写鲁鱼，算式讹舛，殊不易读。……后供奉内廷，蒙圣祖仁皇帝授以借根方法，且谕曰：西洋人名此书为阿尔热八达，译言东来法也。敬受而读之，其法神妙，诚算法之指南，而窃疑天元一之术，颇与相似。复取《授时历草》观之，乃涣如冰释，殆名异而实同，非徒曰似之已也。
梅钰成发现，西洋借根方法在我国古代早已有之，这是有贡献的，但是他对这两种方法研究不够。康熙、梅钰成关于借根方法导源于中国的天元术的说法显然是错误的[3]。
我们看到，1280年的《授时历草》经复原的这一段文字[4]，用天元一代表未知数，应用沈括的会圆术，利用全弧背来推导出割圆求矢术。