3.2　筹算除法

3.2　筹算除法

中国传统数学利用算筹进行运算。

根据《孙子算经》，整数乘法布算三行，被乘数在上，乘数在下，“以上命下，所得之数列于中位”，而“凡除之法，与乘正异。乘得在中央，除得在上方”。

作除法时，被除数在上，除数在下，度商置于最上方。随除随减被除数中除数的试商倍数。除不尽时，原被除数的位置便剩下余数，以余数作为分子，除数作为分母，很自然地形成了一个分子在上、分母在下的分数筹算形式。连同试商的整数在内，构成了一个带分数。

化带分数为假分数时，演算步骤就是除法的还原。《九章算术》称为“通分内子”。

于是，古代真分数的记法应记成二行，分母在下，分子在上；假分数则记成三行。

《孙子算经》第17题展示6561÷729=9的除法筹算过程，附有详细的术文：

六千五百六十一，九人分之，问人得几何。

答曰：七百二十九。

术曰：先置六千五百六十一于中位为实。下列九人为法。上位置七百。以上七呼下九，七九六十三，即除中位六千三百。退下位一等。即上位置二十。以上二呼下九，二九十八，即除中位一百八十。又更退下位一等。即上位更置九。即以上九呼下九，九九八十一，即除中位八十一，中位并尽。收下位。上位所得即人之所得。

我们以方框表示筹算板，逐一排布筹算图（图3.1）。

图3.1　除法筹算示意图

首图三重张位[1]，即上位商空，中位置实6561，下位置法9。法首9对实首6。

同位的实与法比较，实6不够法9，法9移下一位，置5下。实65减去一个法9，“除得在上方”，升商1于上位；余实56还够一个法9，再减去法9，再升商1于上位。直到商7为止。不够一个法的实2，即为余数，留在中位，形成第二图。

很清楚，术文中上商7乘下法9的“上七呼下九”，从“实如法而一”演化而来。