18.5　库达卡探源

就所见印度数学史早期史料看，库达卡极为简陋，隐晦难晓。

库达卡原意为碾细，“把问题击打成粉末”，涉及二元一次不定方程求解。公认，把a，b用辗转相除法互除，使余数越除越小，从而可设法求解。

但印度数学史中，又把库达卡解释为“乘数”[8]，记为x。

可见这类库达卡的描述，似乎浮于泛泛而谈。

数学史研究，只能根据史料事实说话。1999年王渝生[9]指出的：“算理上的分析并不能代替对历史事实的确定，任何结论都必须有史料上的依据”，无论对中国数学史还是印度数学史，都是至理名言。

公元6世纪婆罗摩笈多的恒值粉碎机解法，严格确定二元一次方程表达规则，两次重复辗转相除，巧妙地保证余数为1。利用求得1的除法，设定法则，构造整除式。选定“选择的数”，利用整除，求出相对于附加数1不定方程的解，称作恒值粉碎机。再借以求出附加数非1的不定方程。

可见，婆罗摩笈多解法恒值粉碎机的原术、原意，是依附于余数1的整除式，不能用于依附于余数0的降系数不定方程解法。

我们还找到一条恒值粉碎机资料。印度学者早已熟知余数1与附加数1的关联作用。

860年Pᶉthûdakasvâmî说，不定方程by=ax+1一般称为恒值粉碎机[10]117。恒值粉碎机源于分类机（±1）是不变的、永恒的。

关于早年印度不定分析的这个解释，离婆罗摩笈多（梵藏）年代最近，值得注意。

只有结合本书第6章“单一不定分析式”中关于解过渡和解转换的研究，深入挖掘婆罗摩笈多的恒值粉碎机解法，才能探索古印度库达卡的源流。