13.12.1　相关史料

严敦杰先生列举宋元史料，指出宋历求上元积年时相传一种“方程”算法，特征是布算时列出等式多行，“除乘消减”，“约而齐之”，与《九章算术》内解一次联立方程组相类，故借名为“方程”[26]。“约而齐之”，语出周琮《明天历》：“方程约而齐之。今须积岁七十一万一千七百六十”。

秦九韶使用简短的文字叙述不定方程的筹算解法。

今人相乘演积年，其术如调日法，求朔余朔率，立斗分岁余，求气骨朔骨闰骨，及衍等数约率因率蔀率，求入元岁岁闰入闰元率元闰，已上皆同此术。但其所以求朔积年之术，乃以闰骨减入闰，余谓之闰赢，却与闰缩、朔率、元闰①，列号甲乙丙丁四位，除乘消减，谓之方程。乃求得元数，以乘元率，所得谓之朔积年。加入元岁，共为演纪岁积年。

下一步，正可以利用入闰、朔率、闰缩、闰赢，再结合元闰，用除乘消减法求出元数。

秦九韶只用四十九字简略描述了一句鲍浣之原法，并未演算：“但其所以求朔积年之术，乃以闰骨减入闰，余谓之闰赢，却与闰缩、朔率、元闰，列号甲乙丙丁四位，除乘消减，谓之方程，乃求得元数。”

其中，“元闰”二字是我们依数理补入的。因元闰是“求得元数”的必要条件，且闰赢、闰缩、朔率三者不足以“列号甲乙丙丁四位”。

鲍浣之根据四个已知量的推算，决非数据偶合，而是一种算法。四个已知量闰赢、闰缩、朔率、元闰，一个未知量元数，加上未提到的朔数，都有明确的数值。

这是古代历法家手中的秘密武器。

秦九韶新术“仿求入元岁之术理”，使用大衍术（属于一次同余式范畴）。“新术敢不用闰赢而求者”一语，明确地表示，采用“闰赢”的除乘消减法，与新术决然不同，不可能再属于一次同余式，只能属于[不定]方程范畴。