10.3.4　以奇入算

同余理论是由高斯在1801年《算术研究》中系统发展出来的。

现代数论教科书[10]上有这样的评论，讲述同余式a≡c（mod b）与带余除法a=mb+c的等价关系，能帮助我们在现代数论背景下理解中国古代的以奇入算。现摘录如下：

同余按其词意来说，就是余数相同。我们知道，若带余除法a=mb+c成立，那么在讨论一个a的多项式被b去除的问题时，c与a是一样的，即a可用c代替，而其中的部分商m不起作用。同余式符号a≡c（mod b）正是抓住了这一关键，在上面的除法算式中去掉了m，保留了c，突出了c与a在讨论被整除的问题中两者起的相同作用。

所以说，以奇入算在传统历法整数论中的地位，无论怎样评价都不会为过。

以解19x≡1（mod 2）为例。系数19关于模2取余数得1：（2×9+1）x≡1（mod 2）。(https://www.daowen.com)

高斯的解释是，拆成两个关于模2的同余式。其中一个，当系数a为模δ的倍数时，由整除性质，“因δ整除a，ax≡0（modδ）”，有2×9x≡0（mod 2）。于是留下另一个同余式x≡1（mod 2）。

如果用中国传统不定分析处理这个具体数例，直接关注系数19除以2的余数1，得到x≡1（mod 2）。这就是以奇余代原数入算的原理。

秦九韶大衍求一术的预备性操作，“诸衍数，各满定母去之，不满曰奇。以奇与定，用大衍求一入之，以求乘率”，就是一种以奇入算。

东西方数学家从不同的角度观察同一个数学现象，所提出的两个处理说法在数理上是等价的。