15.4.4　黄宗宪的反乘率

秦九韶大衍求一术只求乘率。黄宗宪《求一术通解》提出一法，兼求出乘率与反乘率。在中国传统数学中，反乘率概念是个创新。

现把原文转录如下。方括号中为原文小字注。

列定母于右行，列衍数于左行[左角上预寄一数]，辗转累减[凡定母与衍数辗转累减，则其上所寄数，必辗转累加]，至衍数余一即止，视左角上寄数为乘率[若求反乘率，至定母余一即止，视右角上寄数为反乘率]。

按，两数相减，必以少数为法，多数为实。其法上无寄数者，不论减若干次，减余数上仍以一为寄数。其实上无寄数者，减余数上以所减次数为寄数。其法上实上俱有寄数者，视累减若干次，以法上寄数亦累加若干次于实上寄数中，即得减余数上之寄数矣。

求寄数法中列出所有余数，记录运算全过程，比起大衍求一术，在书写格式上有所改进。

我们求解3800x=27y+1。3800满27去之，不满20为奇，27为定。按法计算如下（图15.4）。

图15.4　黄宗宪乘率与反乘率演算

当左边衍数行的余数出现1时，1左上角的寄数23就是乘率。当右边定母行的余数出现1时，1右上角的寄数4就是反乘率。显然，乘率与反乘率都是寄数，在位置上左右相反。

我们可以验算：23是乘率，23×20-17×27=1；4是反乘率，4×20-3×27=-1。