4.1 早期的百鸡问题
《九章算术》成书于公元1世纪左右，其作者已不可考。西汉张苍、耿寿昌增补和整理时，《九章算术》已大体成形。再经历代各家增补修订，才逐渐成为现今定本。最后成书最迟在东汉前期。现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年（263年），刘徽为《九章算术》所作的注本。
《九章算术》提出的不定方程如下：
今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠；乙三绠不足，如丙一绠；丙四绠不足，如丁一绠；丁五绠不足，如戊一绠；戊六绠不足，如甲一绠。如各得所不足一绠，皆逮。问井深、绠长各几何？
意思是说：五家人共用一井，甲用绳量井深，绳子的二倍尚不够，所缺恰好等于乙绳长。乙用绳子的三倍尚不够，所缺恰与丙之绳长一致。依次类推。问井深、绳子各多少？
这就是《九章算术》“方程”章的五家共井问题，按现今代数方法，可列出类似方程组：
2x+y=w,3y+z=w,4z+u=w,5u+v=w,6v+x=w。
其中x，y，z，u，v代表五家绠长，w代表井深。用消元法求得各家绠长与井深之比：
《九章算术》依方程术演算，并给出一组答案。刘徽注指出，此乃“举率以言之”，意指问题的解答是无穷多组彼此成比例的数，这仅是其中互素的一组整数解。
遗憾的是，这种特殊的一次齐次问题可按方程术求解，却不能引导出新的方法与理论。严格地说，五家共井问题并不属于不定分析的范围，因为不一定要求整数解。但其解题方法，对后人是有影响的。
百鸡问题最早见于大约公元5世纪末成书的《张邱建算经》。
今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何？
显然，如果设公、母、小鸡各为x，y，z只，那么这是一道三个未知数、两个方程的不定问题。在x，y，z都必须是自然数的约束下，实际上只有有限组解。
全部三组自然数解分别是：其一，公鸡4只20钱、母鸡18只54钱、小鸡78只26钱；其二，公鸡8只40钱、母鸡11只33钱、小鸡81只27钱；其三，公鸡12只60钱、母鸡4只12钱、小鸡84只28钱。
《张丘建算经》的“术”，表明了各组解之间的关系：
鸡翁每增四、鸡母每减七、鸡雏每益三，即得。
这就是说，公鸡每增加4个（增加20钱），母鸡就要减去7个（减少21钱），小鸡就要增加3个（增加1钱）。这一增减关系也是正确的，但是仅凭此无法得到全部解。
因此，我们可以说《张丘建算经》给出了正确解答及其之间的增减关系，但却没有给出求特解和增减关系的方法。
后世的探讨，沿着改进算题、求特解和求增减关系三条路线进行。
徐岳（？—220），字公河，东莱（今莱州市）人，东汉数学家、天文学家，第一位“珠算”的提出者和“算盘”的记录者。东汉灵帝时，著名天文学家刘洪“按数术成算”创造了“乾象历”，并“亲授其法”予徐岳。
徐岳编撰《数术记遗》，卷首题“汉徐岳撰，北周汉中郡守、前司隶，臣甄鸾注”。成书年代不详。载有百鸡类问题两问。
其一：
今有鸡翁一只直五文；鸡母一只直四文；鸡儿一文得四只。今有钱一百文，买鸡大小一百只。问各几何？
其二：
今有鸡翁一只直四文；鸡母一只直三文；鸡儿三只值一文。今有钱一百文，还买鸡一百只。问各几何？
北周甄鸾（535—566）注《数术记遗》，称：“计数既捨数术，宜从心计”，并举百鸡题为计数之事。清代丁取忠在《数学拾遗》（1851年）中说，甄鸾定其术为“置钱一百在地，以九为法，除之得鸡母之数，不尽者反减下法为鸡翁之数”。甄鸾“去古未远，莫溯心源”，所说牵强附会，答数仅为偶合。
最早给出《张丘建算经》百鸡问题求特解方法的是唐宋之际的学者谢察微。
谢察微说，考虑到小鸡1钱3只，那么把100÷9得到11余1，11就是母鸡数。第二步用9减去余数1，得到8为公鸡数。第三步100-11-8=81为小鸡数。最后依据增减率得到其他解答。把这种解法合理化，可以说成是先取100钱的三分之一33钱为母鸡价，除以3得到母鸡数。不过第二、第三步无论如何是说不过去的，是不切实际的算法浪漫主义。
南宋杨辉《续古摘奇算法》引《辨古通源》（已失传）百鸡类题一问：
钱一百买温柑、绿橘、扁橘共一百枚。只云，温柑一枚七文、绿橘一枚三文、扁橘三枚一文。问各买几何？
另一题说：
醇酒7贯1斗、行酒3贯1斗、醨酒1贯3斗，十贯买酒十斗。
因为是三个未知数连动求解，杨辉认为此类问题是“三率分身”，后世称为“三色差分”。
上列四问，除《张邱建算经》给出三组正整数解外，其余均只写出一组答案。关于解法，《张邱建算经》术文仅十七个字：“鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三。即得。”
后人很难得其要旨，故在宋元丰七年秘书省刻书时，为《张邱建算经》添入谢察微术草之前的引言中，有“疑其从来脱漏阙文”字样。
南宋杨辉沿用并改进了这种方法，先用试算的方法确定一个未知数，然后求得另两个未知数。其后吴敬、程大位等人的解法都是沿用杨辉的思路。
明嘉靖三年（1524年），布衣数学家王文素完成《算学宝鉴》，对百鸡术有较大的推进。他的解法相当于先消去一个未知数，化为二元一次不定方程，然后通过试算求得一组解。王文素进而通过鸡值损益，给出增减关系的正确算法。除此之外，王文素不满足“三率分身”，探讨了最高达七个未知数两个方程的“众率分身”的问题。虽然其算法仍然具有试算的性质，但对百鸡问题的研究已经远超古人。为此，他得意地说：“愚乃玩之既久，得此拙法。虽十率以上亦可求之，岂止三率乎！”
《张邱建算经》以后，许多学者试图重解百鸡问题，但在骆腾凤以前的一千多年，竟无人获得成功。