14.12.2 格的设立
秦九韶把求定现象归纳成格。苦于归纳标准不严,无法做到不重不漏,不得不设立一些另类现象,以示补充。
元数格第一,统领全局。
元数者,先以两两连环求等,约奇弗约偶[或约得五,而彼有十,乃约偶而弗约奇]。或元数俱偶,约毕可存一位见偶。或皆约而犹有类数存,姑置之,俟与其他约徧,而后乃与姑置者求等约之。或诸数皆不可尽类,则以诸元数命曰复数,以复数格入之。
元数格从两两连环求等入手。复数格则从“求总等,存一位,约众位”入手。
元数格中有两种情况:①约奇弗约偶;②元数俱偶,约毕可存一位见偶。
①中的注文“或约得五,而彼有十,乃约偶而弗约奇”,五是奇,十是偶。“约偶”指约十,还暗示了定数组不唯一。
馆臣在分粜推原题下有按语说:“五为中数,或约偶或约奇,皆可。”此题的问数组是83,110和135。按馆臣的奇偶观点,“或约偶”导致83,22,135,“或约奇”导致83,110,27,这两组都是定数组。
至于“元数俱偶”,如程行计地题100与4。等数4是偶数,无论除哪一个,都得一奇一偶。“约毕可存一位见偶”,约成数中有一个偶数。
“或皆约而犹有类数存,姑置之,俟与其他约徧,而后乃与姑置者求等约之”一句,秦九韶以“俟与其他约徧”,即两两连环求等,作为分界线。
我们曾说过,从操作手段来说,任何一组问数,两两之间求等相约,如某两数约后仍有等,“姑置之”,即这两数只约一次,不约第二次,直到两两连环毕。就数学实质而言,各约成数一定是相应问数的因数,各约成数的乘积一定是原来问数的最小公倍数,但各约成数之间并不一定两两互素。因此,只能称作准定数。
当各约成数乘积等于最小公倍数时,作为下一步的待约数,只要再求出等数,就是续等。凡续等,必须约一数复乘另一数,既保证两数互素,又保证最小公倍数不变。
因此,以“俟与其他约徧”作为判定续等的标准,恰巧与以最小公倍数作标准等价。此时这个等,肯定是续等,必须用来复乘。
秦九韶注意到这情况,但不明写复乘,却转向专门对付复乘的复数格,所以有第四段,用复数格处理。
一句话,秦九韶头脑中,衍母、(若干周期的)一会积和续等三个概念还是孤立的。
收数格第二。
收数者,乃命尾位分厘作单零,以进所问之数。定位讫,用元数格入之。或如意立数为母,收进分厘,以从所问,用通数格入之。
收数,取名于“收进分厘”。只有一题,古历会积题三百六十五日四分日之一“假令”成“三百六十五日二十五刻”,成了“尾位见分厘者”,也就作为收数的典型。但此题求定数具体计算中,没有当元数用过,说不上“定位讫,用元数格入之”,只是一条转化措施。
不考虑十进制因素的“收进分厘”,代之以“如意立数为母”,说成入通数格。
这么说来,收数格处理只是想当然,没有具体数例作背景,更没有理论上的推证。
通数格第三。
通数者,置问数通分内子,互乘之,皆曰通数。求总等,不约一位,约众位,得各元法数,用元数格入之。或诸母数繁,就分从省通之者,皆不用元各母,仍求总等,存一位,约众位,亦各得元法数,亦用元数格入之。
通数格根据特色操作,分成三段。特色操作是通分内子,只有一题古历会积题,冬至,朔策
。特色操作用总等处理,即求总等,不约一位,约众位后,得各元法数。特色操作用“诸母数繁,就分从省通之,皆不用元各母”,还是“求总等,存一位,约众位,亦各得元法数”。
然而,推计土功题并没有与通数相关的数字例子。术文却在“得各县日筑复数”之后加注:“有分者通之,互乘之,得通数”。
复数格第四。
号称元数、收数、通数三格普遍适用的复乘求定之理,竟然只是从“急足之类”,即程行两题中硬凑出来的,详见本书14.12.6“复数格的原型”。