17.4.1 刘徽不等式由来
秦汉以前，人们以“径一周三”为圆周率，称古率。
后来发现，圆周率应是“圆径一而周三有余”。入汉以后，圆周率的计算吸引了许多科学家的注意，如刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗等人都做了不少工作。
公元前1世纪成书的《九章算术》，提出圆田术：
术曰：半周半径相乘得积步。
设周长l，半径r，面积S，则
又术曰：周径相乘，四而一。即
为证明圆田术，公元263年的刘徽创造了割圆术（图17.1）。
图17.1 割圆术示意图
从圆内接正六边形开始，边数不断加倍，多边形面积与圆面积的差就越来越小。正多边形的边数不能再加的时候，其面积的极限就是圆面积。余径是边心距和圆径之差。正多边形的边长乘以余径，形成小矩形。
同一次分割下，若干小矩形的集合组成“类齿轮盘”[11]，骑跨在圆周上。
一次次分割衍生出一层层类齿轮盘，都可分拆成余径为高的等腰三角形，面积为差幂，以及两小勾股形之和，面积等同差幂。
到极限状态，正多边形与圆相合，余径消失，类齿轮盘面积就不至于突出在圆周之外了。
以六觚之一面乘一弧半径，三之，得十二觚之幂。若又割之，次以十二觚之一面乘一弧之半径，六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣。觚面之外，犹有余径，以面乘余径，则幂出弧表。若夫觚之细者，与圆合体，则表无余径。表无余径，则幂不外出矣。以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂。此以周、径，谓至然之数，非周三径一之率也。
“割六觚以为十二觚术”展示如下：
取直径2尺的圆，内接正六边形S6的边长为1尺。设一边AA1，过圆心O作AA1的垂线OA2，交AA1于P1，交圆周于A2，则AA2就是内接正12边形的一边。勾股形AOP1中，OA=1尺为弦，
注意，图17.1“割圆术示意图”中，处于在正6边形一边与圆之间的余径为P1A2。过A2点作OA2的垂线，处于圆外。过A点作线段AB垂直于AA1，交该垂线于B。过A1点作线段A1B1垂直于AA1，交该垂线于B1，构成小矩形AA1B1B。
以余径P1A2为高的等腰三角形AA1A2，共6个，面积是“差幂”（S12-S6）。以余径乘正多边形的边长AA1为小矩形AA1B1B的边长，共6个。六只的面积为两倍的“差幂”：2（S12-S6），是骑跨在圆周上的“类齿轮盘”。
然后，陆续展示“割十二觚以为二十四觚术”、“割二十四觚以为四十八觚术”和“割四十八觚以为九十六觚术”。即从正六边形开始，依次将边数加倍，求出正12，24，48，96等正多边形的边长，从而算得正24，48，96，192等边形的面积。涉及数据见下表（表17.8），斜线表示未曾计算。
表17.8 刘徽割圆数据
下面讲割九十六觚以为一百九十二觚术，原文如下：
以半径一尺乘之，又以四十八乘之，得幂三万一千四百一十亿二千四百万忽，以百亿除之，得幂三百一十四寸六百二十五分寸之六十四，即一百九十二觚之幂也。以九十六觚之幂减之，余六百二十五分寸之一百五，谓之差幂。倍之，为分寸之二百一十，即九十六觚之外弧田九十六所，谓以弦乘知之凡幂也。加此幂于九十六觚之幂，得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九，则出于圆之表矣。故还就一百九十二觚之全幂三百一十四寸以为圆幂之定率，而弃其余分。以半径一尺除圆幂，倍所得，六尺二寸八分，即周数。……又令径二尺与周六尺二寸八分相约，周得一百五十七，径得五十，则其相与之率也。周率犹为微少也。
求出
，是为差幂：“一百九十二觚之幂也，以九十六觚之幂减之，余六百二十五分寸之一百五，谓之差幂。倍之，为分寸之二百一十，即九十六觚之外弧田九十六所，谓以弦乘知之凡幂也”，说的是“类齿轮盘”。这正96多边形的96条边，乘余径，构成96只小矩形，总面积为
。“加此幂于九十六觚之幂，得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九，则出于圆之表矣。”
于是，
左边直观地添上圆内接正192多边形的面积S192，就是
这样，分析差幂，我们得到刘徽不等式，再列出一般式：
算到圆内接正96边形的面积S96，可求得圆周率
，相当于π=3.14。
而觚差幂六百二十五分寸之一百五。以一百九十二觚之幂以率消息，当取此分寸之三十六，以增于一百九十二觚之幂，以为圆幂，三百一十四寸二十五分寸之四。……以半径一尺除圆幂三百一十四寸二十五分寸之四，倍所得，六尺二十八分二十五分分之八，即周数也。全径二尺与周数通相约，径得一千二百五十，周得三千九百二十七，即其相与之率。若比者，盖尽其纤微矣。举而用之，上法为约耳。当求一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之幂，而裁其微分，数亦宜然，重其验耳。
刘徽还进一步算到圆内接正3072边形的面积S3072，推算了圆周率
，相当于π=3.1416。