8.4.3　常数不变所体现的整数解思想

8.4.3　常数不变所体现的整数解思想

我们曾经讨论过，整数解法有许多种方法。我们归纳的主要特征有两条：

1　未除尽部分形式上有别于整数

每次除法的除数，同步除以常数。因除不尽而导致的部分，在形式上是分数，实质上是整数。

2　形式分数消失以体现整数

到某一个阶段，设法使形式分数消失，体现出整数实质，进而得到一组特定数据。从而逐步回代，求出原不定方程的一组特解。

英国数学家哈代[7]（Hardy，Godfrey Harold，1877—1947）说过反证法的策略：

证明过程应用了反证法，欧几里得极其喜爱反证法，它现在是数学家手中最好的武器之一。这是比国际象棋任何一种让子开局法都更为精彩的让子开局法，棋手可以弃掉一只卒，甚至弃掉一只主力棋子，数学家却是满盘皆弃。

我们以为，整数解思想中也有类似的策略：常数参与辗转相除，暂时放弃整数形式，成为形式上的分数。再想法让形式分数消失，赢回来，恢复整数实质。

现在我们看到，罗尔的这个解法，连这一步“暂时”都没有，坚守常数，数值符号都不变。因此，说这个解法体现整数解思想是绝对没有问题的。

罗尔的这个法则对未知数z和h代入其他未知数，这在数学史上具有深远的意义，已经是1770年欧拉采用引入新变量的降系数过程的前奏曲。

西方数学用字母代表数。文字表示法的引进和发展，通常归之于16世纪和17世纪的法国数学家韦达和笛卡尔[8]。从这时起，代数学就成为各种数量（用文字来代表）以至多项式计算的理论。罗尔这个法则对未知数z和h代入其他未知数，在数学史上具有深远的意义。

狄克逊在《数论史》中介绍欧拉的变量分析时写道：“欧拉用了总是以较小数为除数的方法，本质上是紧随着罗尔。”近一个世纪后，正是欧拉充分发扬了罗尔的整数解思想。