5.5　最大公约数和等数

定义　设a和b是不全为零的整数，a和b的最大公约数是指满足下述两条件的整数d：

（1）d为a和b的公约数，即d|a并且d|b。

（2）d为a和b的所有公约数中最大的，即对整数c，如果c|a并且c|b，则c≤d。

我们知道，每个非零整数只有有限个因子，所以若a和b是整数并且不全为零，那么它们的公约数也只有有限多个，所以它们的最大公约数必然存在并且是唯一的。

今后把a和b的最大公约数表示成（a，b），注意若n是a和b的公约数，则-n也是它们的公约数，所以最大公约数一定是正整数。

类似地，对于不全为零的任意有限个整数a1，a2，…，an，我们也可以定义它们的最大公约数，表示成（a1，a2，…，an）。

传统数学中，等数是更相减损术的产物。

两个正整数辗转相减，最后得到两个相等的数，合称为等数。用以约这两个正整数的是等数的值。

等数的值为最大公约数，但最大公约数不等同于等数。

总等，则为所涉及所有数的最大公约数。