10.2.3 剩余定理的原文
《算术研究》第36节针对单个原模A，论述数α的定义。以B，C，D等字样，表示论及其他模。涉及年序学的数例则只提三个模，我们不再处处说明了。原文是：
当所有的模A，B，C，D等两两互素时，使用下列方法通常更为优越。确定一个数α，相对于模A与1同余，相对于其他模的乘积与0同余。这就是说，α是由式子1/BCD等（mod A）的一个值（最好是最小值），用BCD等所乘（参见第32节）。类似地，令β≡1（mod B）和≡0（mod ACD etc.），γ≡1（mod C）和≡0（mod ABD etc.），等等。于是，如果我们要寻找z，它与分别相对于模A，B，C，D等的余数a，b，c，d等同余，我们能够记作
z≡αa+βb+γc+δd etc.(mod ABCD etc.)。
显然，αa≡a（mod A），并且其余的βb，γc等 都≡0（mod A），所以z≡a（mod A）。同样的论证对其他模也成立。当我们要解更多的同类型问题，对模值不变的A，B，C，D等，值α，β，γ等具有恒值时，这种解作为模板是个首选。这个用法起源于年序学问题，在确定儒略年时的小纪、黄金数和太阳循环周期为已知。这里A=15，B=19，C=28，所以，因式子1/（19×28）（mod 15）或1/532（mod 15）的值是13，α就是6916。采用同样方法，我们求得β为4200，γ为4845，我们所求的数是6916a+4200b+4845c的最小余数。这里A是小纪，B是黄金数，C是太阳循环周期。
第36节的要点是，一个数z与分别相对于模A，B，C，D等的余数a，b，c，d等同余。需要对每个原余数a，b，c，d等各伴随一个特殊的数α，β，γ，δ等，相加成形如αa+βb+γc+δd的总余数。这样，所寻找的z，与相对于原模A，B，C，D的各余数a，b，c，d同余，也与相对于总模ABCD的总余数αa+βb+γc+δd同余。而原模A，B，C，D两两互素，保证直接相乘得到总模ABCD。
我们称α，β等特殊数为伴随数，从而称之为以伴随数为特征的剩余定理。
依照现代数论教科书习惯，可表达如下：
剩余定理 寻找z，它与分别相对于两两互素模A，B，C，D等的余数a，b，c，d等同余，即有一次同余式组
z≡a(mod A)≡b(mod B)≡c(mod C)≡d(mod D)。
如果有如下数：
α≡1(mod A)≡0(mod B)≡0(mod C)≡0(mod D),
β≡0(mod A)≡1(mod B)≡0(mod C)≡0(mod D),
γ≡0(mod A)≡0(mod B)≡1(mod C)≡0(mod D),
δ≡0(mod A)≡0(mod B)≡0(mod C)≡1(mod D),
其中α的值是由相关同余式
（BCD等）x≡1（mod A）
的一个解（最好是最小值），再用BCD等所乘得。我们有
z≡αa+βb+γc+δd等（mod ABCD等）。
我们关注的重点在于：高斯对剩余定理究竟说了些什么，并且是怎样说的。
第36节叙述篇幅不长，内容丰富。大量准备工作则安排在36节之前。
《算术研究》第31节中介绍了一种同余式根的标识方法：
以方程ax=b的解能够表示为b/a，同样，我们会用b/a指明同余式ax≡b的根，并把它与同余的模放在一起加以标识。这样，例如，19/17（mod 12）记任何数≡11（mod 12）。
在讨论一元一次方程17x=19的根时，可以不解出具体值，只标识相关数据，如记x=19/17，就能指出这个根了。在讨论同余式的根时，也就不具体解出值，只标识系数、常数，连同相关模就可以了。
例如，同余式17x≡19（mod 12）的解，标识成19/17（mod 12）。当然，真正的值还是要另行计算的。
在第36节中，用到三次根标识，列表以供对照（表10.1）：
表10.1 根标识对照表
