14.15 大衍求一术诞生探索
秦九韶在《数书九章·序》中，自称：“早岁侍亲中都，因得访习于太史，又尝从隐君子受数学。”
1208年开禧历所存求乘率术筹算原图操作，不知何人何时所定。不要说今天的人们不习惯，就是中世纪的秦九韶，也痛感不便。
秦九韶亲手设计1247年元闰朔率求乘率图，为每一个数值的布图费尽心机，也就有可能受到启示，逐步改进。参见图11.2“1247年秦九韶改良的大衍图”。
我们展示从元闰朔率求乘率图结构，演变到大衍求一术的可能过程[21]。
先删除原来双数的2，4，…，20十图，只用括号的数字表示，保留单数原图。形成下列算图（图14.5）。
图14.5 删除双数图的大衍图
接着，略去注文，把商数移到两图之间，形成下列简图（图14.6）：
图14.6 改良大衍图的简图
有趣的是，包括首尾在内的每一张筹算小图，右上角和左下角相乘的积，加上右下角和左上角相乘的积，其和恰好都等于恒值，即首图右下角的数，也是尾图左下角的数。这个对角线乘积和的恒等性质，是数理与算筹摆法的奇妙结合。
我们在13.9.3“等数只是充分条件”中指出：等数是辗转相除过程中两个相等的余数，只是标志乘率的充分条件。只有处在右上位的等数自然值（或等数调节值）单独一个，才具有标志乘率的效力。
秦九韶工作中最重大的突破性贡献，就是把等数作乘率标志，改为以右上余数1作乘率标志，也就是只用了真正能标志乘率的那个等数自然值（或等数调节值）。在前人基础上，模仿设计求乘率图、简化排图，最后以简练的语言归纳出大衍求一术。
1247年大衍求一术原文如下：
诸衍数，各满定母去之，不满曰奇。以奇与定，用大衍求一入之，以求乘率[或奇得一者，便为乘率]。
大衍求一术云，置奇右上，定居右下，立天元一于左上。先以右上除右下，所得商数，与左上一相生，入左下。然后乃以右行上下，以少除多，递互除之，所得商数，随即递互累乘，归左行上下。须使右上末后奇一而止。乃验左上所得，以为乘率。或奇数已见单一者，便为乘率。
秦九韶回避首图的0，也回避最后0这个麻烦，以“右上末后奇一”准确地选定具有乘率标志效力的余数1。取消商数，略去最后一图。所有筹算图与大衍求一术术文的描述完全一致，体现出这样的数理含义：以除法为纲，把同一个循环的试商、留余、归算并入同一个算图。
秦九韶具有极高的数学造诣，归纳提炼的大衍求一术“整个算法几乎可以一字不差地搬到现代电子计算器上去实现”[22]。
秦九韶万世流芳，在伟大数学家高斯之前554年得到的大衍求一术，与线性不定方程现代序列解定理等价，而不定方程序列解法正是高斯同余式算法的核心。
至此，等数完成了标记乘率的阶段性历史使命。秦九韶的元数格说：“元数者，先以两两连环求等，约奇弗约偶。”等数回到求等相约过程中，重操最大公约数的老本行。