11.7.3 经典研究中的原字母
1921年8月，钱宝琮写《求一术源流考》一文，1925年写《商余求原法》[7]一文，1966年再写《秦九韶数书九章研究》[8]一文。在中国数学史研究上，钱宝琮第一个系统、完整研究了大衍求一术的数学证明，作出了不可磨灭的贡献，成为后世学者的楷模。
这些经典研究中，大衍总数术的符号：定数ai、衍母M、奇数gi、乘率ki、用数kiGi、余数Ri、各总kiGiRi、解N等，始终保持不变。仅序列字母前后略异。有必要把“秦九韶数书九章研究”一文的原文、原字母，照录如下：
如果G＞a，设G≡g（mod a），0＜g＜a，则同余式kg≡1（mod a）（2）式与kG≡1（mod a）（1）式等价。式内的g称为奇数。
大衍求一术云，置奇右上，定居右下，立天元一于左上。先以右上除右下，所得商数，与左上一相生，入左下。然后乃以右行上下，以少除多，递互除之，所得商数，随即递互累乘，归左行上下。须使右上末后奇一而止。乃验左上所得，以为乘率。
用代数符号说明大衍求一术如下：
以g，a二数辗转相除，得到一连串的商数q1，q2，…，qn，到第n次的余数rn=1而止，但n必须是个偶数。如果rn已经等于1，那么以1除rn-1得商qn=rn-2-1，余数rn还是1。与辗转相除同时，按照一定的程序，依次计算c1，c2，…，cn：
a=gq1+r1,c1=q1,
g=r1q2+r2,c2=q2c1+1,
r1=r2q3+r3,c3=q3c2+c1,
︙
rn-2=rn-1qn+rn,cn=qncn-1+cn-2。
最后得到的cn就是k值。我们可以证明这个方法的正确性。设l2=q2，l3=q3l2+1，l4=q4l3+l3，…，ln=qnln-1+ln-2，从上面（3）式里，我们有
r1=a-gq1=a-c1g,
r2=g-r1q2=g-(a-c1g)q2=(1+c1q2)g-aq2=c2g-l2a,
r3=r1-r2q3=(a-c1g)-(c2g-l2a)q3=(1+l2q3)a-(c1+l2q3)g=l3a-c3g,
︙
rn-1=ln-1a-cn-1g,
rn=(-1)n(cng-lna)。
也就是
cng≡(-1)nrn(mod a)。
当rn=1时，k=cn。我们有kg≡1（mod a）。
上面求k值的方法和初等数学书中解一次不定方程gx=ay+1的方法差不多，只是k=cn是从q1顺次算到qn止所得的，而x是从qn算起逆推到q1止所得的结果。x=k（mod a）是可以证明的。
例如，在推计地功题的演算过程中，需要计算满足同余式3800k≡1（mod 27）的k倍。因3800≡20（mod 27），故以20为奇数，27为定数，以奇与定入大衍求一术求乘率如下：
因得3800×23≡1（mod 27）。
这里顺便作一个注。介绍求一术时，“作十字号以界之”[9]。李俨先生认为乃是比利时来华传教士赫师慎（Van Hee L.，1873—1951）的发明，又认为他对大衍求一术的介绍比三上义夫更为详细。汪晓勤[10]则认为：“这是不符合事实的。”
注意，此处使用的单序列c1=q1，c2=q2c1+1，c3=q3c2+c3，…，cn=qncn-1+cn-2，所得到cn就是k值。证明中设了另一单序列l2=q2，l3=q3l2+1，l4=q4l3+l2，…，ln=qnln-1+ln-2。
这种c序列、l序列与Q序列、P序列的关系，用具体数字例子即可查明。
现在按“奇定处大衍求一术”，定a=gq1+r1，c1=q1，奇g=r1q2+r2，c2=q2c1+1，…，用27和20的序列值计算（表11.11）。
表11.11 27和20的序列值计算
续表
自然余数1（q3）对应的序列值3（Q3）和4（P4），x=3和y=4是27x=20y+1的一组解。核算：27×3-20×4=1。
调节余数1（q4）对应的序列值17（Q4）和23（P4），x=17和y=23是27x=20y-1的一组解。核算：27×17-20×23=-1。
注意，调节余数1（q4）对应的23（P4），除法序数4正是偶数，符合“以g，a二数辗转相除，得到一连串的商数q1，q2，…，qn，到第n次的余数rn=1而止，但n必须是个偶数”。
可见此处，大衍求一术中用单个P序列表示为cn，不是Q序列。天元一是P1。列出的大衍求一图应当如图11.4所示。
图11.4 偶序整数对的大衍求一图
至于这一句：“上面求k值的方法和初等数学书中解一次不定方程gx=ay+1的方法差不多，只是k=cn是从q1顺次算到qn止所得的，而x是从qn算起逆推到q1止所得的结果。x=k（mod a）是可以证明的。”我们只需要确认一下，“顺次”指上面的方法，而“逆推”则指解不定方程gx=ay+1的回代方法。