13.10.2 计算过程
秦九韶从入闰与闰骨之差讲起，引出改进的新术。
次置岁日，以日法通之，并以斗定分，为岁率，以十二月乘朔率，减岁率，余为岁闰，以岁闰乘入元岁，满朔率去之，不满为入闰，与闰骨相减之，得差[或适足，便以入元岁为积年，后术竝不用；或差在刻分法半数以下者，亦以入元岁为积年]，必在刻分法半数以上。却以闰泛骨并朔率，得数内减入闰，余与朔率求闰缩[在朔率以下，便为闰缩；以上，用朔率减之，亦得]。以纪法乘日法为纪率，以等数约之，为气元率，以气元乘岁闰，满朔率去之，不满为元闰。虚置一亿，减入元岁，余为实，元率除之，得乘限。乃以元闰与朔率用大衍入之，求得等数、因子、蔀数。以等数约闰缩，得数，以因子乘之，满蔀数去之，不满，在乘限以下，以乘元率，为朔积年。并入元岁，为演纪积年。又加成历年。
从近期编历岁岁首冬至、斗定分出发，计算岁率、岁闰，引出入闰的概念。
“次置岁日，以日法通之，并以斗定分，为岁率”：日法16900×365+4108=岁率6172608。
“以十二月乘朔率，减岁率，余为岁闰”：朔率499067×12-6172608=岁闰183804。
“以岁闰乘入元岁，满朔率去之，不满为入闰”：岁闰183804×9180÷499067，余入闰474260。
再比较入闰474260与闰骨163771。
开禧历数据环境下，入闰是大于闰骨的。其他情况下，“入闰，与闰骨相减之，得差[或适足，便以入元岁为积年，后术并不用；或差在刻分法半数以下者，亦以入元岁为积年]，必在刻分法半数以上。”安排在后面的13.11.3“入元岁便为积年”中，进行专题讨论。
入闰474260与闰骨163771相减，加上一个朔率，闰泛骨163771+499067-474260=188578，取名闰缩。为保证闰缩大于零，采用“并朔率”：“却以闰泛骨并朔率，得数内减入闰，余与朔率求闰缩[在朔率以下，便为闰缩；以上，用朔率减之，亦得]。”
接着，渐次计算气元、元闰，以便元闰377873与朔率499067，入大衍法。
求气元19500岁：“以纪法乘日法为纪率，以等数约之，为气元率。”
岁闰183804×16900÷499067，余数为元闰377873：“以气元乘岁闰，满朔率去之，不满为元闰。”
最后，“乃以元闰与朔率用大衍入之，求得等数、因子、蔀数。以等数约闰缩，得数，以因子乘之，满蔀数去之，不满，在乘限以下，以乘元率，为朔积年。”
乘限只是简繁控制，附带性设置。“虚置一亿，减入元岁，余为实，元率除之，得乘限。”一亿减入元岁9180，99990820÷19500≈5128个气元。规定上元积年不能超过5128个气元，就是规定上元积年不能超一亿。宋景昌称：“唐宋演撰家相沿如此”，“此恐积年过于一亿，运算繁多，故设乘元限，以为元数之限”[23]。
于是进入秦九韶新创的算法。“假闰缩如气骨”（术），“乃以元闰377873与朔率499067用大衍术入之”（草），求出元数402来。