12.5.1 原文
第30节研究同余式的乘积模与因数模的关系。
当模是合数时，有时利用下面方法很有利。
设模为mn，相关的同余式ax≡b（mod mn）。首先，解关于模m的同余式。假定它得到满足，如果x≡v（mod m/δ），这里δ是数m和a的最大公约数。显然，相对于模mn满足同余式ax≡b的x的任意值，也相对于模m满足同余式，从而可以用形式v+（m/δ）x′来表示，这里x′是某个任意整数。然而，反之则不成立，因为并非形如v+（m/δ）x′所有的数满足相对于模mn的同余式。确定x′值的事宜，使得v+（m/δ）x′是同余式ax≡b（mod mn）的根，能够从同余式（am/δ）x′+av≡b（mod mn）的解或者等价的同余式（a/δ）x′≡（b-av）/m（mod n）的解中导出。这就推出，相对于模mn的任何一次同余式的解，都能从两个相对于模m和模n的任何一次同余式的解中导出。显然，如果n又是两个因数的乘积，相对于模n的同余式的解依赖于两个同余式，它们的模就是这两个因数。一般地说，相对于合数模的同余式的解，取决于其他同余式的解，这些同余式的模是合数的因数。这些因数可以是素数，如果这样做方便的话。
我们采用高斯的具体数例，解释乘积模同余式的解法，较为清晰：
19x≡1(mod 140)。
模140是四个素数2，2，5，7的乘积，从小到大排列。系数不变，可相对各个素数模，推导出四个同余式。各同余式的常数当然要渐次计算。
1 关于素数模2
考虑第一个素数模2的同余式：
19x≡1(mod 2)。
取19关于模2的余数，19=2×9+1，拆成两个同余式。依整除性质，“因δ整除a，ax≡0（modδ）”，去除2×9x≡0（mod 2），留下同余式
x≡1(mod 2)。
满足这个同余式的x值，都可表示成x=1+2x′，x′是任意整数。
高斯说：“显然，相对于模mn满足同余式ax≡b的x的任意值，也相对于模m满足同余式，从而可以用形式v+（m/δ）x′来表示，这里x′是某个任意整数。”把x=1+2x′代入原同余式19x≡1（mod 140），得
38x′≡-18(mod 140)。
依三项最大公约数性质，“bδx≡aδ（mod cδ）和bx≡a（mod c）等价”，约去2得
19x′≡-9(mod 70)。
2 关于第二个素数模2
据同余式19x′≡-9（mod 70），70=2×5×7。系数不变，对第二个素数模2的同余式
19x′≡-9(mod 2)。
因19=2×9+1，去除2×9x′≡0（mod 2）。取系数19关于模2的余数1，有
x′≡1(mod 2)。
把解x′表示成x′=1+2x″，新变量x″为任意整数。代入19x′≡-9（mod 70），整理得
38x″≡-28(mod 70),
约去三项最大公约数2，得
19x″≡-14(mod 35)。
3 关于第三个素数模5
根据同余式19x″≡-14（mod 35），35=5×7。考虑关于素数模5的同余式：
19x″≡-14(mod 5)。
利用“如果相对于同一个模，许多数与同一个数同余，它们（相对于同一个模）彼此同余”，寻找作为系数倍数的常数。
关于模5与余数-14同余的数-9，-4，…，71，76中，找到76，是19的4倍：
19x″≡76(mod 5)。
在“当k和c互素时，bkx≡ak（mod c）和bx≡a（mod c）等价”下，由系数19与模5互素，可以约去最大公约数19，得
x″≡4(mod 5)。
再引入新变量x‴，x‴是任意整数，把解x″表示为x″=4+5x‴。代入上式，得
95x′≡-90(mod 35)。
依三项最大公约数性质，约去5得
19x‴≡-18(mod 7)。
4 关于第四个素数模7
最后一步，待解同余式19x‴≡-18（mod 7）只有一个素数模7。
因19=2×7+5，利用整除性质，去除2×7x‴≡0（mod 7），留下
5x‴≡-18(mod 7)。
在关于模7与余数-18同余的许多数-11，-4，3，10中，找到10，是系数5的2倍，
5x‴≡10(mod 7)。
因系数5与模7互素，系数5与常数10可同时除以最大公约数5，得
x‴≡2(mod 7)。
再引入新变量x″″，表为x‴=2+7x″″，x″″是任意整数。