9.2.1 形如ma+v=nb的不定方程
狄克逊的《数论史》中这样记录：
欧拉给出了一个寻找整数m的过程，使得（ma+v）/b是一个整数，这里v＞0。设a=αb+c，于是A=（mc+v）/b必须是个整数，从而有m=（Abv）/c。
首先，如果v可被c整除，我们取A=0，得到一个解。其次，如果v不能被c整除，设b=βc+d。那么如果（Ab-v）/c是个整数，m会是个整数。这样我们设c=γd+e，等等。
欧拉给了一个注，称这个过程是寻找a，b最大公因数的过程，继续进行，直到得到一个能整除v的余数。他解ma+v=nb的公式等价于
这个级数继续进行，直到找到一个能整除v的余数。
欧拉解形如ma+v=nb的不定方程，m和n是两个变量，a和b分别是m和n的系数，v是常量，不失一般性，要求v＞0。
把a，b辗转相除，求出一系列余数c，d，e，f，…，直到余数f能整除常量v为止。直接得到不定方程的一组解m和n：
括号中均是级数，两级数的最后一项
取决于能整除v的余数f。
我们分析整个过程：
如果原不定方程有整数解m和n，则因整数
，就有
为整数。设有除法a=αb+c，α是商数，c是余数。代入
，得
。形式分数部分
记为A，实质为整数，则有
。因m是整数
应该是整数。
这就是说，原不定方程能否有整数解，取决于v与c整除与不整除两种可能。
整除 如果v可被余数c整除，取
，得到
m=-v/c。
于是，前述的
这是找到了能整除v的余数c，就会出现表示m和n的两个级数。这就是说，如果v可被余数c整除，则形式分数
，体现出实质上的整数。
不整除 如果v不被余数c整除，设除法b=βc+d，β是商数，d是余数。记B为
为整数，可知
为整数。
到这一层里，原不定方程能否有整数解，取决于v与d之间整除不整除两种可能。
整除 现在设v能被d整除。取
。有
不整除 如果v不能被d整除，再进行类似上述的计算。
由此可知，a，b辗转相除，求出余数c，d，e，f，…。假设某个余数f能整除常量v，可得不定方程的一组解m和n：
