“数形结合”思想解决函数有关问题

（一）“数形结合”思想解决函数有关问题

例1　“沪教版课标教材九年级拓展Ⅱ（试用本）第18页”已知一个二次函数的图像经过点P（－2，7），对称轴是直线x＝1，图像在x轴上截得的线段长为8，求这个函数的解析式。

分析：本题利用了二次函数图像的对称性，求得图像与x轴的公共点的坐标，再求函数解析式。计算过程较简便。

解：如图1，设直线x＝1与x轴的公共点为C，图像在x轴上截得的线段AB＝8，点A在点B的左边。

图1　坐标轴示意图

由二次函数的图像关于直线x＝1对称，可知AC＝BC＝4即AO＋OC＝OBOC＝4。

因为OC＝1，所以AO＝3，OB＝5，且A、B分别在原点的左、右侧。

可得A（－3，0），B（5，0）。(https://www.daowen.com)

设这个二次函数的解析式为y＝a（x＋3）（x－5）。

∵图像过点P（－2，7），

∴a（－2＋3）（－2－5）＝7，

解得a＝－1。

所以，这个函数的解析式为y＝－（x＋3）（x－5），即

y＝－x2＋2x＋15。

反思：本题如果不利用二次函数图像的对称性，求得图像与x轴的公

共点的坐标，那么计算过程将会比较烦琐，而且不易算出答案。