数形结合求解最值问题

所谓数形结合求解最值，一般是将一些抽象的解析式赋予几何意义，然后通过图形的属性及数量关系进行“数”与“形”的信息转换，把代数的问题等价性用几何的方法来求解，使之求解更简单、快捷。

例2　已知正实数x，求的最小值。

分析：可以把整理为，

即如图2，看作坐标系中一动点（x，0）到两点（0，2）和（2，1）的距离之和，于是本问题转化为求最短距离问题。

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图2　坐标轴示意图

解：，

令P（x，2）、A（0，2）和B（2，1），则y＝PA＋PB。

作B点关于x轴的对称点B′（2，－1），则y的最小值为AB′＝。

在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一，要明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二，要恰当设参，合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三，要正确确定参数的取值范围。由此可见“数形结合法”有助于提高学生的学习能力，激发他们的学习兴趣。“数形结合法”重视“分析”的环节，能够把问题从抽象化变为直观化。