运用方程的思想解综合题
把未知转化为已知，常有两种途径，一种是从已知数量的运算求出未知，这种仅由已知数参与运算，逐步扩大已知量，最终求得结果的方法常称为算术方法。另一种是通过设元，并把未知量参与到运算中去，抓住问题中的等量关系，构造方程或方程组，通过求解方程从已知探索未知，实现未知向已知的转化，这就是处理数学问题的方程思想。列方程解应用题就是培养方程思想的典型内容，待定系数法求函数的解析式也是方程思想的体现，这里就不再举例。下面举例说明方程思想在解几何综合题中的运用。
例4 已知：如图3，正方形ABCD，边长为1。以A点为圆心，以AD为半径作BD；以点D为圆心，以DA为半径作AC，⊙O与AC，BD及AB分别相切于M、N、E点，求⊙O的半径。
分析：用方程的思想解题，关键在分析等量关系，通过设元，建立方程，解出未知数。
图3 正方形ABCD示意图
本题中⊙O与⊙A内切于N，则点N在AO的延长线上。⊙O与⊙D外切，则M在OD上，由于⊙A、⊙D半径都是已知数1，因此AO、DO都是建立等量关系不可缺少的线段。⊙O与AB相切于E，则过切点的半径OE是常规辅助线，OE⊥AB，∠A＝90°，则图中出现以OE为所求，AD为已知的直角梯形，正是建立等量关系的基本图形。
略解：连OE，OD，AN，作OF⊥AD于F。(https://www.daowen.com)
设⊙O半径为r，AO＝1－r，OD＝1＋r。
易证四边形AEOF为矩形，∴AF＝OE＝r。
由勾股定理，得AO2－AF2＝OF2＝OD2－DF2，
可得方程（1－r）2－r2＝（1＋r）2－（1－r）2。
化简整理得6r＝1，
∴
。
方程的思想是初中数学重要的数学思想，在代数、几何及综合题的解答中有广泛的应用，借助方程的思想方法，使很多不同背景、不同模型的数学问题，化归为列方程或方程组来解决，使问题化难为易。