（二）问题的解决
平行四边形判定中，我们知道是依据平行四边形的定义和四个判定定理，所以我们本次活动中一定要注重学生对平行四边形的性质应用，更要关注学生的分析和归纳能力。此次活动应更好地展示学生的类比思想，意在体现出学生在学习中创造性的思维能力；同时也能够体现出学生对平行四边形的本质性理解，也能在后阶段学习其他几何中利用同样思考方法奠定基础，体现出数学的化归思想。
根据我们活动主题，我们的四边形可以如图2，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，分别给出：①AB∥CD；②AB＝CD；③AD∥BC；④AD＝BC；⑤∠DAB＝∠BCD；⑥∠ABC＝∠ADC；⑦AO＝CO；⑧BO＝DO。写出由其中两个条件组成的所有组合，满足这些组合的图形都是平行四边形吗？若是，请进行证明；若不是请举出反例说明。
图2 四边形ABCD示意图
经过排列可以发现，共有28种组合情况，分别是：①②，①③，①④，①⑤，①⑥，①⑦，①⑧，②③，②④，②⑤，②⑥，②⑦，②⑧，③④，③⑤，③⑥，③⑦，③⑧，④⑤，④⑥，④⑦，④⑧，⑤⑥，⑤⑦，⑤⑧，⑥⑦，⑥⑧，⑦⑧。
下面分类进行讨论：
1.①②或③④组成的四边形都是一组对边平行且相等，它们都是平行四边形；
2.①③组成的四边形两组对边分别平行，它是平行四边形；
3.②④组成的四边形两组对边分别相等，它是平行四边形；
4.⑤⑥组成的四边形两组对角分别相等，它是平行四边形；
5.⑦⑧组成的四边形对角线互相平分，它是平行四边形；
6.①④或②③组成的四边形都是一组对边平行且另一组对边相等，它们不一定都是平行四边形，如等腰梯形。所以，一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形；
7.①⑤，①⑥，③⑤，③⑥组成的四边形都是一组对边平行且一组对角相等，它们一定是平行四边形。现以①⑤为例证明如下：
如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝∠BCD。求证：四边形ABCD是平行四边形。
证明：如图2，因AB∥CD，故∠DAB＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠BCD＝180°。因∠DAB＝∠BCD，故180°－∠DAB＝180°－∠BCD，即∠ADC＝∠ABC。所以，四边形ABCD是平行四边形。
本题还有其他证明方法，可以让同学们自己去探索和补充。
因此，一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形。
8.①⑦，①⑧，③⑦，③⑧组成的四边形都是一组对边平行且一条对角线平分另一条对角线，它们一定是平行四边形。现以①⑦为例证明如下：
如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD，AO＝CO。求证：四边形ABCD是平行四边形。
证明：如图2，因AB∥CD，故∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO。又AO＝CO，故△ABO≌△CDO，故AB＝CD。所以，四边形ABCD是平行四边形。
9.②⑤，②⑥，④⑤，④⑥组成的四边形都是一组对边相等且一组对角相等，它们不一定都是平行四边形。我们先从证明入手，如图3，四边形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠D。求：四边形ABCD是不是平行四边形？(https://www.daowen.com)
图3 四边形ABCD示意图
分析：经验告诉我们，遇到四边形问题往往要转化成三角形问题来解决。所以很自然想到联结AC，分四边形ABCD为两个三角形，如果能够证明△ABC≌△CDA，便可证明四边形ABCD是平行四边形。
可是现有的条件是：AB＝CD，∠B＝∠D，AC公用，满足的是“边边角”的条件，不能证明△ABC≌△CDA，所以无法证明四边形ABCD是平行四边形。
上述问题让学生直接证明有难度，我们联想到八年级下学期数学课本中“平行四边形的判定”学习时，用四根小木条做一个平行四边形框架，并在相邻两根木条交叠处各钉一枚小钉来固定，推动其中一根木条改变其内角，来找到反例。给学生两根长度相等的小木条，另外给两根长度不等的木条，搭出满足一组对边相等且一组对角相等的四边形，同时它又不是平行四边形的反例图形。教师还可以选部分同学的作品展示，提高学生参与课堂的积极性。
注意：在这里还有其他方法找出反例图形：
（1）拼图法
如图4，已知△ABC与△ABD满足“边边角”的条件，在两张白纸上给出这个图形，让学生剪出△ABC与△ABD，最后让学生把剪出的三角形拼成符合要求的反例四边形。
图4 △ABC与△ABD示意图
（2）间接作图法
a.利用等腰三角形构造；
b.利用平行四边形构造：旋转三角形法、利用圆周角和等弦知识的方法、作全等三角形的方法等。
（3）直接作图法
本题还有其他证明方法，学生可以自己再探索、补充。
图5 四边形AECD示意图
10.②⑦，②⑧，④⑦，④⑧组成的四边形都是一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线，它不一定都是平行四边形。现以②⑦为例说明如下：如图5，已知四边形AECD是平行四边形，AE与DC互相平分于点O。以点A为圆心，AE为半径画圆弧，交EO于点B，联结AB、CB。在四边形ABCD中，AB＝AE＝CD，AO＝CO，但四边形ABCD不是平行四边形。因此，一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形不一定是平行四边形。
图6 四边形ABCD示意图
11.⑤⑦，⑤⑧，⑥⑦，⑥⑧组成的四边形都是一组对角相等且一条对角线平分另一条对角线，它也不一定都是平行四边形。现以⑤⑦为例说明如下：如图6，作线段AC及其垂直平分线MN，垂足为O点。在直线MN上分别取点B和D，使B、D分别在线段AC两侧，且BO≠DO。则由线段垂直平分线的性质可知，AB＝BC，AD＝CD，故∠BAC＝∠BCA，∠DAC＝∠DCA，从而有∠BAD＝∠BCD。四边形ABCD满足一组对角相等且一条对角线平分另一条对角线，但它不是平行四边形。因此，一组对角相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形不一定都是平行四边形。