数学课堂教学中的“过程”味
朱武巍
数学是一门基础科学，数学常常使人与逻辑、思维等词联系起来。M.克莱因曾说过：“数学是人类最杰出的智慧结晶，也是人类精神最富独创性的产物，音乐能激起或平静人的心灵，绘画能愉悦人的视觉，诗歌能激发人的情感，哲学能使思想得到满足，工程技术能改善人的物质生活，而数学则能够做到所有这一切。”对于初中数学，除了让学生感受数学的魅力，还需要让学生习得数学的基本知识。如何在教学过程中使学生习得知识，获得能力？《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》在教学建议中对数学教学提出了六条建议，其主题思想是：“数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在教师的指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习。”早在1960年美国教育协会就声明：“强化并贯穿于所有各种教育的中心目的、教育的基本思路就是要发展思维。”因此，教师在日常教学中需关注学习进程，关注学生思维，尽量使每堂课充满乐趣，充满价值与意义。
而课堂是学生发展思维的重要场所，如何利用课堂环境充分发展学生思维是需要不断被思考的问题。首先，教师需要对课堂环境的内涵进行了解。课堂环境也称为课堂学习环境，是近30多年来教育社会学、教育心理学和科学教育领域中比较引人关注的热点课题。但由于课堂环境内涵复杂且丰富，目前学术界并没有形成统一术语，更多以“教学环境”概念进行研究。整体的教学环境系统主要由两类环境组成，物质环境和社会心理环境。基于此，也有学者将课堂环境理解为：以促进学生成长与发展为出发点，是影响教师教学活动和学生学习活动展开，质量与效果改进的各种因素总和。大量研究证实课堂环境与学习成果有着密切关系，积极的课堂环境可以改善和提高学生的学习效果。
以下以三角形三边关系的应用为例，谈谈我如何在课堂环境下，本着学生积极思考的宗旨，让学生感受到数学学习的过程。三角形三边关系是沪教版数学七年级第二学期三角形基本概念中重要的一个知识点，阐述为“三角形任意两边之和大于第三边”。本课建立在学生掌握三角形三边关系的知识点后，继续研究三角形三边关系的应用展开，以下为教学相关片段。
课题：三角形三边关系的应用
教学目标：进一步理解并掌握三角形三边之间的关系；注重方法的选择，感受严谨的数学思想方法。
重点：进一步探究三角形三边关系，运用三边关系解决实际问题。
难点：三角形三边关系的理解与方法的选择。
（本课教学目标和重难点的确定是根据本班学生实际情况而定，本班学生大多基础良好，本课题难度与学生的认知水平相匹配，本课题属于一个较开放性的问题，希望在大背景下，根据学生的生成与思路开展本课。）
教学片段呈现：
师：已知三角形三条边的长分别是2、3和c，则c的取值范围是________。
生1：我利用三角形任意两边之和大于第三边的性质得出以下不等式组
，求出1＜c＜5。
生2：我直接列出不等式组3－2＜c＜3＋2，也得出1＜c＜5。
师：第二位同学的方法比较便捷，得出的答案也是一样的，那这只是一个巧合吗？
目的：借由此题引出今天的课题，激发学生的学习兴趣，使学生主动思考，自由发挥，教师从关注自己的教转为关注教会学生学。
本问题中两位同学的方法在教师的预料当中，但是生2的方法是在教师未有任何提示下得出的方法，这也是本班特征之一，学生思维很活跃。我选择顺应学生的这种趋势，让他们自由发挥。我始终觉得教学活动没有计划的预设不行，但同时机械遵守计划，却解决不了没有聊到的生成问题。美国教师教育专家克里克山克说过两句教育名言，“好的计划会避免在你工作中可能出现的无数问题。老鼠和人类的最好计划也常常会走入歧途”。在学生的生成下，给出问题2，并让学生同时尝试以上两种方法，并进行比较。
师：如果三角形的两边是3、8，第三边是1－2a，则a的取值范围是________。同学们再用以上两种方法试试，答案是否还是一样？
（等待片刻）
生
和8－3＜1－2a＜8＋3得出的答案一致－5＜a＜－2。
师：第一种方法是根据三角形三边的关系列出三个不等式，过程合理，结果正确，两种方法答案一致，不禁让我们思考，两种方法是否是相通的，接下来我们来探究两种方法的一般规律，如何探究一般规律？
（目的：鼓励学生回想出一个具有相同或相似的熟悉的问题，这正如波利亚《怎样解题》一书中所阐述的：“拟定计划，你以前见过它吗？你是否见过相同而形式稍有不同？”学生以前运用过含字母的式子来表示规律。）
生1：字母可以研究一般规律，我们可以把三角形的三边用字母a、b、c代替。
生2：没错，那第一种方法相当于这样一个不等式组
，
师：那第二种方法要如何表示的呢？
（学生陷入思考）
数学问题意识能让学生主动思索，进而不断提出问题、思考问题、解决问题。有了这种问题意识，学生的思维才有了方向和动力，学生的学习才具有能动性。在师生的一问一答中建立起良好的互动，同时渗透字母表示数的思想，笔者认为，在教学过程中，不能少掉宝贵的数学思想的渗透。思想是人类一切行为的基础，我思故我在，要使学生感受过程，需要让他们得到思考。
生1：如果将a看成未知的边，那第二种方法应该是b－c＜a＜b＋c或者c－b＜a＜b＋c。
师：为什么要列两个不等式组？
生：因为不知道b、c哪条边更长。
师：这两个式子能用一个等价的式子表示吗？
（目的：敦促学生对知识进行整合与提炼，使学生能力得到发展。）
生：可以写成｜b－c｜＜a＜b＋c因为引入绝对值后，等同于是两边之差的含义。
接下来给同学们时间验证
能推出｜b－c｜＜a＜b＋c。
苏霍姆林斯基曾经说过，“当一个年幼的人不是作为冷漠的旁观者，而是作为劳动者，发现了许许多多个为什么”，“并且通过思考、观察和动手而找到这些问题的答案时，在他身上就会像由火花燃成火焰一样，产生独立的思考”。在课堂上尽量创造条件使学生成为课堂的主体，并充分发挥教师的引导作用。
学生在讨论后，发现方法一前两个不等式变形后就是｜b－c｜＜a，第三个不等式变形后就是a＜b＋c，因此问题得到解决，也即：三角形任意一边大于另两边之差，小于另两边之和。在整个环节中，学生本能地将他们所学的新知识与原有知识和个人经验（绝对值的知识，不等式的基本性质）结合起来，这也有利于学生进行深度学习。在良好的课堂情境下，学生的好奇心、求知欲、探究欲得到充分保证与激发，整个探索过程基本上是学生自主探索完成的，带着积累的成就感，他们开始尝试将所得运用于以下应用中。
知识应用1
（1）等腰三角形腰长为8，它的底边长c的范围是_____________。
（2）等腰三角形底边长为4，则它的腰长a的范围是_____________。
预设1：学生从底边切入，选择三角形任意一边大于另两边之差，小于另两边之和的结论，得出0＜c＜16。
预设2：部分同学从腰切入得出｜4－a｜＜a＜a＋4后，解不等式组遇到困难，做不下去；部分同学改变策略，选择用不等式组，得出
，求出a＞2；部分同学选择继续从单边切入分析，但是以底边切入得出0＜4＜2a，求出a＞2。
分析：每一次的问题设计都是逐步推进学生对所学知识的理解与感悟。在常规思路受阻或者一般方法较烦琐后，学生思考的过程给他们提供一次重新整理所学知识内涵的机会，完善他们对此类问题的认知，探究问题本质，体会在变化中寻找不变的奥妙。
知识应用2
一条线段的长为a，若要使3a－1、4a＋1，12－a这三条线段组成一个三角形，则a的取值范围是_____________。
预设：部分学生选择从单边切入得出不等式组，难点在于如何解含绝对值不等式；部分同学选择换另一种方法得出
得出
a＜5，极少同学考虑到边和线段大于零的实际意义，列出不等式组
得出
。
分析：知识应用2设计的目的一：对所学知识的巩固，经历知识应用1的思考后，大多数同学对知识应用2的思考更加系统，如遇到从单边切入较麻烦后，选择换一种方法，发现此时直接应用“三角形任意两边之和大于第三边”列不等式在本问题的解决中反而更简单，学生学会自主选择和比较方法的优劣，这是一个自主思考的过程；目的二：本问题的解决情况也能体现出分层思想，三种程度的完成情况在某种程度上也体现出学生数学学习的水平。最后，学生通过本问题的分析进一步感受到数学的严谨性，从而从情感、态度与价值观层面提升了学生的核心素养。
反思：
一堂好课不仅要考察教学目标是否达成，还需关注学生在教学过程中的感受，如果本节课直接告诉学生三角形三边关系符合｜b－c｜＜a＜b＋c，目的仅仅是学生利用三角形三边关系完成几道练习，那教学时间会节省不少，表面上看教学效率提高了，但学生能否真正理解掌握知识的本质，甚至运用这种方法去解决类似的问题就不得而知。
学生数学能力的提高应贯穿于课堂的始终，在日常教学中应关注学习进程，学生思维的培养。因此，教师在教学设计中应思考“习题背后的设计意图是什么”，该设计意图是否在学生认知范围内，在教学过程中需引导学生进行反思“为什么选择这种方法”，将问题想明白，解明白。
本课程在关注学生上课“过程味”时，不仅从教学过程流畅性考量，教学中的艺术性也是上课过程中需要严格自我要求的，尤其对于一节数学课如何将逻辑性与艺术性相结合是需要不断探索的话题，“教学不是应用科学，好的教学应该依靠艺术和审美的思考，教学的许多方面更像是爵士乐演奏而非跟随行军部队的鼓点”。在整个教学过程中，学生热情饱满，师生真情互动，充分尊重学生的自主性和创造性，才生成如此有趣的一堂数学课，但美中也有一些不足，在实现教学艺术性，激发学生课堂参与的过程中，多了一些严谨与认真，少了一些风趣幽默，这也是今后需要不断加强的。