数学建模竞赛与“数值分析”教学融合

要以数学建模竞赛为契机，针对“数值分析”的教学现状，在计算方法课程教学中进行如下四个方面的课程改革和探索。

第一，充分利用数学建模竞赛中的案例，引入模型求解所需的数值算法。在数学建模竞赛中，其中一个重要的环节就是选择合适的算法求解模型，大量的模型求解中涉及的算法是数值算法。例如，2018年建模竞赛中关于防火服的设计，其最终模型是一组热传导方程，需要用使用偏微分方程数值解法求解，其中涉及有限元方法、三对角方程组追赶法、三次样条插值等方法，这些方法是数值分析课程重点讲解的内容。在以往的教学中，教师教学时苦于没有合理的模型，通常是根据课本上给出的几个方程作为例题。这种例题设计非常完美，求解中几乎不会遇到稳定性、收敛性等问题，学生不明白这样的例子在何处可以遇到，因而也就失去了对真实世界中数学问题的兴趣。因此，在教学中引入建模竞赛试题，让算法不再是凭空设计，而是为解决实际问题而设计，极大地丰富了教学的素材。

第二，利用建模竞赛中涉及的新算法，适当拓展课程的内容。从近年来的数学建模竞赛试题中我们可以看出，虽然模型思想非常简单，但它却能以数据驱动建立模型，这种模型的难点是大量处理和分析、训练数据。例如，2012年的葡萄酒评价等试题，更多是统计建模，涉及层次分析等方法。这些方法应用非常广泛，不仅仅在建模竞赛中，而且在实际应用中也常有出现，但是在“数值分析”课程中却鲜有介绍。为此，结合建模竞赛试题介绍一些新算法是十分必要的。此外，还有一些算法是“数值分析”课程中重点向学生介绍的，如非线性方程求根的各类方法，但由于实现的难度、稳定性和计算时长的限制，难以针对建模竞赛的问题进行应用。而近些年来发展的人工智能算法，如粒子群算法、差分进化算法、蚁群算法、模拟退火算法等却能在有限时间内很好地解决这类问题。结合建模中使用到的这些算法，拓展数值分析课堂教学内容是十分必要的。这可以让学生在现有课程的基础上，掌握最新的研究动态，有助于他们开阔视野，今后继续深造。

第三，以数学建模竞赛为引导，开展高级程序语言编程训练。在数值分析课程中，算法描述通常用伪代码给出，要求学生运用相应的程序语言编程实现，以C、FORTRAN语言等编写而成。这些程序语言语法严格，不同平台的编译器及数据库要求均不一致，编译运行困难，而且实现可视化效果较为复杂，难以快速呈现不同算法之间的直观比较，很多学生难以迅速掌握编译和可视化，逐渐失去了学习兴趣。在以理解算法为核心的思想指导下，合理使用数学软件具有更重要的意义。尤其是以MATLAB为代表的数学软件，编译简单，在可视化效果方面具有明显的优势。在数学建模竞赛中，学生大量使用MATLAB、SPSS、Python等语言或软件的经验，可以快速移植到数值分析的实践中，在方便学生使用的同时，通过可视化分析，学生能更加直观地了解不同算法之间的差异，提高编程的能力，并在此基础上更加深入地理解算法。

第四，以数学建模竞赛论文为标准，强化数值分析课程中实验报告撰写和学术写作训练。目前的数值分析教学过程更像经典数学课的教学，以教师为中心，教师讲授课程内容，重视演绎推导，以证明计算为主，课后布置练习让学生巩固知识点。但事实上，数值分析中算法的应用场景仍然是实际模型，面对的是大型和复杂的综合问题，最终提供的是整套的解决方案，难以通过几道练习题模拟出来。而数学建模竞赛的论文则呈现了分析、解决问题和模型评价的完整过程，对数值分析习题，尤其是实验题，具有很好的启发作用。要仿照建模竞赛论文格式，设置数值分析实验题报告，每一章结束后，让每个小组的学生完整做完一道练习题，详细分析算法，实现程序，评价算法，最终出具实验报告。多年的教学实践表明，这样的教学成效非常好，学生做实验更加认真，在此后的大学生创新实验与本科毕业论文写作中形成了良好的习惯，更容易完成符合学术规范的论文。