认识平均分：除法学习的开始

“平均分”的产生源于分物，常常要求做到“公平”。为了公平，要求在“分”的时候，要“分”得“同样多”，“平均分”由此而产生。于是“平均分”也有这样的两个性质：一是把要分的物体尽可能地分完；二是要使每份所分得的数量都相等。

“把要分的物体尽可能地分完”就意味着有两种情况：“正好分完”和“不能正好分完”。这是现实生活中的常见现象，学生容易理解接受。苏教版数学教材初次教学“平均分”时，似乎刻意回避了分完“还有剩余”的情况，教材中给出的全都是能正好分完的情况，到学习《有余数的除法》时再介绍平均分后有剩余的情况。而美国Harcourt教材中，学生从认识“平均分”开始，就有了“余数”的存在，教材上是如下安排的（图1）。

图1　初步认识“平均分”

图1中明确指出：“Divide into equal groups.Somemay be leftover.”（平均分，可能有剩余），不管分后是否有剩余，图旁都给出了“____left over”（还剩多少）。

笔者认为Harcourt教材中这样的安排符合知识结构的层次和学生的认知发展特点。奥苏伯尔的同化论中提出，知识在头脑中组成一个有层次的结构，最具概括性或包摄性的观念处于这个层次结构的顶点，它下面是包摄范围较小和越来越分化的命题、概念和具体知识。学习者在接触一个陌生的知识领域时，从已知的较一般的整体中分化细节，要比从已知的细节中概括整体容易一些。学前儿童主要是通过由具体到一般的方式获得知识，当他们入学后，获取知识的方式逐渐成为由一般到具体。因此，教材内容的编排和呈现应遵循由整体到细节的顺序。

苏教版的数学教材内容安排中，学生认识平均分后，先学习表内除法，在二年级下学期理解有余数的除法后，再学习除法竖式。有了“余数”的概念，学生对除法竖式的理解更加透彻，在知识认知结构上更加完整。