三、案例三
提出问题 （2013年江苏高考17题）如图3所示，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上。若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围。
分析问题 本题主要考查直线与圆的方程。考查直线与圆、圆与圆的位置关系等基础知识，考查运用轨迹思想解题。
解决问题 因为圆C的圆心在直线l：y＝2x－4上，所以，设圆心C为（a，2a－4），则圆C的方程为（x－a）2＋[y－（2a－4）]2＝1.
图3
又因为MA＝2MO，设M（x，y），则
整理得x2＋（y＋1）2＝4，设为圆D，
所以点M应该既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D有公共点，
所以
由5a2－12a＋8≥0，得a∈R，由5a2－12a≤0，得
终上所述，a的取值范围为
总结提升 本题主要是从轨迹的角度入手解决问题。上述问题中基于对阿波罗尼斯圆的认识，我们知道在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上且满足
当λ＞0且λ≠1时，点P的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆，这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理。其实在课本上也已经有所引导（必修2习题）：已知点M（x，y）与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为
那么点M的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M所构成的曲线。
对于轨迹问题的认识，可以补充如下问题：（2009年苏锡常镇二调）如果圆（x－a）2＋（y－a）2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是_____。
本题的突破点在于条件中已知圆上“总存在两个点到原点的距离为1”，通过画图分析，从圆的角度看有两点到原点的距离为1，那么我们从原点的角度看呢？就是已知圆上有两个点到原点的距离为1，而我们考虑所有到原点距离为1的点的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆，那么本题就是两个圆相交的问题了，这样利用两圆相交的条件就可以解决了。
在解决了理解阿波罗尼斯轨迹的问题之后，还可以进一步引导学生进行逆向思维。如（2019届南通等七市联考14）在平面四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝2，AD＝1.若
则
的最小值为_____.
对于本题，学生在审题过程中能够联想到用建系的方法解决问题，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），D（0，1），设C（x，y），根据—
知点C的轨迹是圆（x－1）2＋y2＝4，那么接下来呢？如何求目标
的最小值？联系图形思考，这是“一个动点到两个定点的距离之和最小”的问题，只是多了一个系数
怎么处理？联系到这里还有一个圆，可以逆向考虑阿波罗尼斯圆。假设x轴上存在一点T（t，0），使得
带入坐标根据已知点C的轨迹，化简可得t＝5，从而
（当D，T，C三点共线的时候取得最小值）。
在数学解题过程中对于问题的分析与解决，通过联想比较、拓展延伸、逆向思考等方法，与学生一起体会数学解题的过程，充分体现了数学解题思维及创造能力的运用，让学生在成功解题中感受数学的魅力，提升学生的数学素养。
我们知道通过基础教育阶段的数学教育，无论接受教育的人将来从事的工作是否与数学有关，最终培养目标是让人学会用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界，这就是数学学科的核心素养。创新能力的形成需要具备数学核心素养，因为这是培养创新型人才的基础。在中学阶段我们应重视数学解题思维的培养与提升，进而提升中学生的创新能力。