两种平均分：一对孪生的兄弟
张奠宙教授在《小学数学教材中的大道理——核心概念的理解与呈现》中提道：除法和分数教学，最常用的情景是“平均分物”。例如，将一些饼干平均分给小朋友。这一数学模型涉及两种除法，俗称“等分除”和“包含除”。但是，我国的除法教学和教材编写，都畸形地偏向等分除，以致形成了片面的思维定式，这对于培养学生分析问题和解决问题的能力非常不利。
知道平均分成多少份，用除法计算每份是多少，俗称“等分除”；知道每份是多少，求总数里包含多少份，俗称“包含除”。这两种除法，是同一个“平均分物”数学模型所产生的，地位平等。从除法的意义进行分析，等分除和包含除乃是同一个情境里的两类互相依存的除法问题，可以说二者是一对“孪生兄弟”，彼此密切相关。
苏教版教材中不出现“等分除”和“包含除”的字眼，可能是出于减轻学生负担的考虑，不想让学生花费精力背诵两种除法的意义，并在各种题型中“分辨”它们。而事实上，这些不足为虑，因为笔者工作的学校曾经借鉴Harcourt版的Math教材，在教学中明确给出了两种平均分的名称“Size of Groups”“Number of Groups”，学生很容易接受理解，而且在接下来的练习中，学生也能轻而易举地“分辨”出两种平均分，更好地理解了除法的意义。
Harcourt的Math教材也是分两节课分别介绍了两种平均分的方法，并给出了明确的名称，如图2所示。
例题（图2）给出“Patwants to divide 13 rocks into 3 equal groups.She places 1 rock in each group.She keeps placing 1 rock in each group.Place any left over objects off to the side.”（Pat要把13个小石头平均分成3组，她每组放1个小石头，依次进行，把最后剩下的物体放在旁边）。例题中有实物袋子，教学中老师也会组织学生动手操作，同时出示静态示意图，逐步帮助学生理解平均分。这道例题是平均分后有剩余，接下来的练习题中也有正好分完的情况，让学生在初次接触平均分的知识结构是全面的。下述例题（图3）呈现了另一种平均分“Number of Groups”。题目给出“Jen wants to divide 10 stars into groups of 5.How many groups can shemake？”（Jen要把10颗五角星按5个一组分，可以分成几组？）教材上给出了图例，虽然这次平均分后没有剩余，下面还是给出了“ 0 left over”（剩下0个）。
图2 Size of Groups
在介绍两种平均分后，学生在练习的过程中很容易理解和接受，为除法的学习奠定了坚实的基础。通过这样对比学习，学生真正理解除法的含义，在对比中重构运算意义。
图3 Number of Groups