传统数学问题的多维思考和巧妙解决

《九章算术》中三角形的面积是“半广以乘正纵”，意思是“底的一半乘高”，根据刘徽的注解“半广者，以盈补虚，为直田也”，运用“出入相补原理”（即割补法），以盈补虚，可把三角形转化为长方形来求解。此外，为了证明圆的面积公式，刘徽还发明了著名的“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”也就是用圆内接正多边形细割圆，使其面积无限逼近圆面积。如此，古人便巧妙地解决了圆的面积，甚至通过转化与补充，还解决了圆环等相关图形的面积问题。此外中国传统数学勇于打破常规，尝试用逆向思维去解题。唐代数学家张逐有道著名的“李白喝酒”问题：“李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗（斗是古代酒具，也可作计量单位）。三遇店和花，喝光壶中酒，原有多少酒？”这道题解题的关键在于逆推还原，假设三遇花时壶中有1斗酒，则三遇店时有（1÷2）斗酒，二遇花时有（1÷2＋1）斗酒，二遇店时有［（1÷2＋1）÷2］斗酒，一遇花时有［（1÷2＋1）÷2＋1］斗酒，因此壶中原有酒：［（1÷2＋1）÷2＋1］÷2＝斗。